数学基礎論・数理論理学　その19

数学基礎論・数理論理学　その19 (606ﾚｽ)
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539: １３２人目の素数さん [] 2025/07/04(金) 02:50:05.20

なぜ哲学は無意味で科学のみが学問と言えるのか
体系内と体系外の正しさ
体系内の正しさ
　自明な正しさ
　　定義　論理構造だけで自明に真となる命題
　　例　命題論理の恒真式（トートロジー）
　　価値　形式的には正しくても新たな洞察を生まず、議論に貢献しない

非自明な正しさ
　　定義　モデル理論的事実や推論規則の適用を要し、形式体系のすべてのモデルで真となる命題
　　例　意味論的妥当性（⊨ φ）
　　価値　議論の本質を担うが、体系内で完全に獲得・検証することは不可能
1. 恒真式（トートロジー）
　　定義　真理値表で常に真となる式
　　特徴　自明に真で、新たな情報を付加せず議論に寄与しない
2. 意味論的妥当性（Validity）
　　定義　形式体系 K のすべてのモデルにおいて真となる式 φ の性質（⊨ φ）
　　特徴　どの解釈でも真である点が非自明性を示す
3. 形式的完全性（Completeness）
　　定義　意味論的に妥当な式は必ず証明可能である性質（⊨ φ ⇒ ⊢ φ）
　　特徴　一階述語論理における Gödel の 1930 年定理
4. 形式的健全性（Soundness）
　　定義　証明可能な式は必ず意味論的にも真である性質（⊢ φ ⇒ ⊨ φ）
　　特徴　証明体系の正当性を保証
5. 無矛盾性（Consistency）
　　定義　ある式 φ とその否定 ￢φ の両方が証明されない性質
　　特徴　十分強力かつ再帰的に公理化可能な体系は自身の無矛盾性を内部で証明できない（第二不完全性定理）
6. 公理の仮定性
　　定義　公理は証明せず仮定として受け入れる式
　 特徴　その正しさは体系外の検証（経験的・モデル存在証明など）に依存

体系外の正しさ
　経験的検証
　定義　現実世界の観測・実験結果と理論モデルの予測が一致することで得られる正しさ
　特徴　自然科学も社会科学も、アンケート・脳波計測を含むあらゆる経験的手法で検証される場合に「科学」と呼ばれる

文学・芸術科学化
　定義　文学や芸術の情緒・読者反応をアンケートや脳科学的計測で定量化し検証すれば「芸術科学」となる
　特徴　感動度や倫理的判断も経験的データで評価可能

理論物理学の立場
　定義　実験や観測のための概念・装置を準備する段階
　特徴　必然的に後続の経験的検証を可能にすることが求められる

数学の位置付け
　定義　公理の正しさを主張せず、体系内の健全性・完全性を追究する形式科学
　特徴　外部的検証を要求せず、内部的整合性とモデル存在のみが評価基準

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/539

540: １３２人目の素数さん [] 2025/07/04(金) 02:50:11.81

主観・感情・読者解釈の形式化可能性
任意のテキストは背後にオントロジー（背景定義）を置くことで弱算術 Q の骨格を必然的に含む。たとえば
– 聖書「C(g,ω)」（創世記1:1）
– 源氏物語「L(genji,y,t)」「R(r,⌜L⌝,t)」
これらを含む理論 T は
再帰的可算（Henkin 1950）、
任意 r.e. 集合を Σ¹ 式で表現（Shepherdson 1961）、
T ⊬ Con(T) かつ決定不能文 θ を必ず抱える（Gödel 1931／Rosser 1936）
→ どんな背景定義を用いようと、現実世界への言及には弱算術 Q が不可欠であり、第一不完全性の射程外には出られない

純ナンセンスの例
g0d!#? ωω++ …
識別不能・順序不能・参照不能で再帰的列挙すらできず、意味が蒸発する

オントロジー層とテキスト層
テキスト層 書かれた文字列のみを扱い意味づけ不能
オントロジー層 背景定義・公理群でテキストをモデル化し初めて意味を獲得

反例と現実性
反例は「テキストに乗法記号がないから形式体系に Q が含まれない」という誤解を打ち破る。
– なんでも計算できるコンピューター：テキストに×がなくとも「チューリング完全」と定義すれば Q を内包
– 源氏物語の物理社会：面積＝縦×横、速度×時間、単価×数量を想定すれば必ず Q を前提
– Presburger 算術：加法のみでは現実世界を一切表現できず、意味ある主張にはなり得ない

まとめ
1. 意味ある文章とは「現実世界への言及そのもの」であり、その参照自体が意味である
2. 現実世界への言及ならば必ず弱算術 Q を含み、Q を含まないなら現実世界への言及とはならず意味を持たない
3. Q を含まない理論は純粋ノイズにすぎず、現実世界に対する意味ある主張として成立しない
4. 唯一の非自明な正しさを担保できるのは経験的検証による科学のみである
5. 経験的情報を取り入れれば自然科学・社会科学・芸術科学・倫理科学・理論物理学へと回収され、取り入れなければ純粋形而上学にとどまり無意味な妄想となる

つまり生き残れる哲学は存在せず、唯一の可能な学問は科学のみである

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/540

543: １３２人目の素数さん [] 2025/07/04(金) 03:04:19.81

なぜ哲学は無意味で科学のみが学問と言えるのか

体系内と体系外の正しさ

体系内の正しさ
　自明な正しさ
　　定義　論理構造だけで自明に真となる命題
　　例　命題論理の恒真式（トートロジー）
　　価値　形式的には正しくても新たな洞察を生まず、議論に貢献しない

非自明な正しさ
　　定義　モデル理論的事実や推論規則の適用を要し、形式体系のすべてのモデルで真となる命題
　　例　意味論的妥当性（⊨ φ）
　　価値　議論の本質を担うが、体系内で完全に獲得・検証することは不可能
1. 恒真式（トートロジー）
　　定義　真理値表で常に真となる式
　　特徴　自明に真で、新たな情報を付加せず議論に寄与しない
2. 意味論的妥当性（Validity）
　　定義　形式体系 K のすべてのモデルにおいて真となる式 φ の性質（⊨ φ）
　　特徴　どの解釈でも真である点が非自明性を示す
3. 形式的完全性（Completeness）
　　定義　意味論的に妥当な式は必ず証明可能である性質（⊨ φ ⇒ ⊢ φ）
　　特徴　一階述語論理における Gödel の 1930 年定理
4. 形式的健全性（Soundness）
　　定義　証明可能な式は必ず意味論的にも真である性質（⊢ φ ⇒ ⊨ φ）
　　特徴　証明体系の正当性を保証
5. 無矛盾性（Consistency）
　　定義　ある式 φ とその否定 ￢φ の両方が証明されない性質
　　特徴　十分強力かつ再帰的に公理化可能な体系は自身の無矛盾性を内部で証明できない（第二不完全性定理）
6. 公理の仮定性
　　定義　公理は証明せず仮定として受け入れる式
　　特徴　その正しさは体系外の検証（経験的・モデル存在証明など）に依存

体系外の正しさ
　経験的検証
　　定義　現実世界の観測・実験結果と理論モデルの予測が一致することで得られる正しさ
　　特徴　自然科学も社会科学も、アンケート・脳波計測を含むあらゆる経験的手法で検証される場合に「科学」と呼ばれる

文学・芸術科学化
　　定義　文学や芸術の情緒・読者反応をアンケートや脳科学的計測で定量化し検証すれば「芸術科学」となる
　　特徴　感動度や倫理的判断も経験的データで評価可能

理論物理学の立場
　　定義　実験や観測のための概念・装置を準備する段階
　　特徴　必然的に後続の経験的検証を可能にすることが求められる

数学の位置付け
　　定義　公理の正しさを主張せず、体系内の健全性・完全性を追究する形式科学
　　特徴　外部的検証を要求せず、内部的整合性とモデル存在のみが評価基準

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/543

544: １３２人目の素数さん [] 2025/07/04(金) 03:04:27.81

主観・感情・読者解釈の形式化可能性
　任意のテキストは背後にオントロジー（背景定義）を置くことで弱算術 Q の骨格を必然的に含む。たとえば
　　– 聖書「C(g,ω)」（創世記1:1）
　　– 源氏物語「L(genji,y,t)」「R(r,⌜L(genji,y,t)⌝,t)」
　これらを含む理論 T は
　　再帰的可算（Henkin 1950）、
　　任意 r.e. 集合を Σ¹ 式で表現（Shepherdson 1961）、
　　T ⊬ Con(T) かつ決定不能文 θ を必ず抱える（Gödel 1931／Rosser 1936）
　→ どんな背景定義を用いようと、現実世界への言及には弱算術 Q が不可欠であり、第二不完全性定理の射程外には出られない

感情・解釈・文化的文脈・美学の形式化可能性
　任意の感情（喜び・悲しみ）、解釈（読者反応）、文化的文脈、美学的価値判断は、次のようにオントロジー層で定義・形式化できる。
　　– 個体定数や関係記号を用いて「感情状態」「解釈行為」「文化的属性」「美学的評価」を命題として表現
　　– 時点や対象を数える 0, S() を導入し、読者や文化集団ごとの反応を R(r,p,t) の形で量化
　　– 「美的快の強度」「文化的背景の識別」「解釈パターン」を数理モデル化して Σ¹ 式で表現
　→ どのような主観的要素であっても弱算術 Q の骨格を含む形式体系に組み込まれ、第二不完全性定理の射程外には逃げられない

純ナンセンスの例
　g0d!#? ωω++ …
　識別不能・順序不能・参照不能で再帰的列挙すらできず、意味が蒸発する

オントロジー層とテキスト層
　テキスト層　書かれた文字列のみを扱い意味づけ不能
　オントロジー層　背景定義・公理群でテキストをモデル化し初めて意味を獲得

反例と現実性
　反例は「テキストに乗法記号がないから形式体系に Q が含まれない」という誤解を打ち破る。
　　– なんでも計算できるコンピューター：テキストに×がなくとも「チューリング完全」と定義すれば Q を内包
　　– 源氏物語の物理社会：面積＝縦×横、速度×時間、単価×数量を想定すれば必ず Q を前提
　　– Presburger 算術：加法のみでは現実世界を一切表現できず、意味ある主張とはなり得ない

まとめ
　1. 意味ある文章とは「現実世界への言及そのもの」であり、その参照自体が意味である
　2. 現実世界への言及ならば必ず弱算術 Q を含み、Q を含まないなら現実世界への言及とはならず意味を持たない
3. Q を含まない理論は純粋ノイズにすぎず、現実世界に対する意味ある主張として成立しない
4. 唯一の非自明な正しさを担保できるのは経験的検証による科学のみである
5. 経験的情報を取り入れれば自然科学・社会科学・芸術科学・倫理科学・理論物理学へと回収され、取り入れなければ純粋形而上学にとどまり無意味な妄想となる

つまり生き残れる哲学は存在せず、唯一の可能な学問は科学のみである

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/544

547: １３２人目の素数さん [] 2025/07/04(金) 04:35:25.01

>>545
なぜ哲学は無意味で科学のみが学問と言えるのか

体系内と体系外の正しさ

非自明な正しさ
　　定義　モデル理論的事実や推論規則の適用を要し、形式体系のすべてのモデルで真となる命題
　　例　意味論的妥当性（⊨ φ）
　　価値　議論の本質を担うが、体系内で完全に獲得・検証することは不可能
1. 恒真式（トートロジー）
　　定義　真理値表で常に真となる式
　　特徴　自明に真で、新たな情報を付加せず議論に寄与しない
2. 意味論的妥当性（Validity）
　　定義　形式体系 K のすべてのモデルにおいて真となる式 φ の性質（⊨ φ）
　　特徴　どの解釈でも真である点が非自明性を示す
3. 形式的完全性（Completeness）
　　定義　意味論的に妥当な式は必ず証明可能である性質（⊨ φ ⇒ ⊢ φ）
　　特徴　一階述語論理における Gödel の 1930 年定理
4. 形式的健全性（Soundness）
　　定義　証明可能な式は必ず意味論的にも真である性質（⊢ φ ⇒ ⊨ φ）
　　特徴　証明体系の正当性を保証
5. 無矛盾性（Consistency）
　　定義　ある式 φ とその否定 ￢φ の両方が証明されない性質
　　特徴　十分強力かつ再帰的に公理化可能で無矛盾な体系は自身の無矛盾性を内部で証明できない（第二不完全性定理）
6. 公理の仮定性
　　定義　公理は証明せず仮定として受け入れる式
　　特徴　その正しさは体系外の検証（経験的・モデル存在証明など）に依存

体系外の正しさ
　経験的検証
　　定義　現実世界の観測・実験結果と理論モデルの予測が一致することで得られる正しさ
　　特徴　自然科学も社会科学も、アンケート・脳波計測を含むあらゆる経験的手法で検証される場合に「科学」と呼ばれる

文学・芸術科学化
　　定義　文学や芸術の情緒・読者反応をアンケートや脳科学的計測で定量化し検証すれば「芸術科学」となる
　　特徴　感動度や倫理的判断も経験的データで評価可能

理論物理学の立場
　　定義　実験や観測のための概念・装置を準備する段階
　　特徴　必然的に後続の経験的検証を可能にすることが求められる

数学の位置付け
　　定義　公理の正しさを主張せず、体系内の健全性・完全性を追究する形式科学
　　特徴　外部的検証を要求せず、内部的整合性とモデル存在のみが評価基準

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/547

548: １３２人目の素数さん [] 2025/07/04(金) 04:35:37.54

>>545
主観・感情・読者解釈の形式化可能性
　任意のテキストは背後にオントロジー（背景定義）を置くことで弱算術 Q の骨格を必然的に含む。たとえば
　　– 聖書「C(g,ω)」（創世記1:1）
　　– 源氏物語「L(genji,y,t)」「R(r,⌜L(genji,y,t)⌝,t)」
　これらを含む理論 T は
　　再帰的可算（Henkin 1950）、
　　任意 r.e. 集合を Σ¹ 式で表現（Shepherdson 1961）、
　　T ⊬ Con(T) かつ決定不能文 θ を必ず抱える（Gödel 1931／Rosser 1936）
　→ どんな背景定義を用いようと、現実世界への言及には弱算術 Q が不可欠であり、第二不完全性定理の射程外には出られない

純ナンセンスの例
　g0d!#? ωω++ …
　識別不能・順序不能・参照不能で再帰的列挙すらできず、意味が蒸発する

オントロジー層とテキスト層
　テキスト層　書かれた文字列のみを扱い意味づけ不能
　オントロジー層　背景定義・公理群でテキストをモデル化し初めて意味を獲得

反例と現実性
　反例は「テキストに乗法記号がないから形式体系に Q が含まれない」という誤解を打ち破る。
　　– なんでも計算できるコンピューター：テキストに×がなくとも「チューリング完全」と定義すれば Q を内包
　　– 源氏物語の物理社会：面積＝縦×横、速度×時間、単価×数量を想定すれば必ず Q を前提
　　– Presburger 算術：加法のみでは現実世界を一切表現できず、意味ある主張とはなり得ない

まとめ
　1. 意味ある文章とは「現実世界への言及そのもの」であり、その参照自体が意味である
　2. 現実世界への言及ならば必ず弱算術 Q を含み、Q を含まないなら現実世界への言及とはならず意味を持たない
3. Q を含まない理論は純粋ノイズにすぎず、現実世界に対する意味ある主張として成立しない
4. 唯一の非自明な正しさを担保できるのは経験的検証による科学のみである
5. 経験的情報を取り入れれば自然科学・社会科学・芸術科学・倫理科学・理論物理学へと回収され、取り入れなければ純粋形而上学にとどまり無意味な妄想となる

つまり生き残れる哲学は存在せず、唯一の可能な学問は科学のみである

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/548

601: １３２人目の素数さん [] 2025/09/29(月) 16:55:17.90 ID:t8iNrpWU

自分の考えを書いてみる。有識者に見てもらいたい。

述語P(n)の量化（この文脈においては部分集合の量化と等価）を一階言語で表現できないため、オリジナルのペアノの公理Pa(Peano axioms)は二階言語で書かれている。
Paは範疇的、すなわち、(N,0,S),(N',0',S')がともにPaを満たすなら同型写像f:N→N'が唯一存在してf(0)=0'∧f(S(n))=S'(f(n))（デデキントが証明）。
一方でPA(Peano arithmetic as first-order theory)は範疇的でない。なぜなら一階言語では述語P(n)の量化ができないため、P(n)をパラメータとする公理図式が採用されているがパラメータは可算個しか許されないため、PAはPaよりも弱い公理系となっている。
そのためNの最小性が保証されず、超準モデルの存在を否定できない。
（This means that the second-order Peano axioms are categorical. (This is not the case with any first-order reformulation of the Peano axioms, below.)）

PaをZFの言語にPa'として翻訳できる。
（The Peano axioms can be derived from set theoretic constructions of the natural numbers and axioms of set theory such as ZF.）
Pa'はPaの内容をすべて表現できており（べき集合の公理を持つZFの言語で ∀E∈2^N を表現できるため）、
（The set N together with 0 and the successor function s : N → N satisfies the Peano axioms.）
これによりNの最小性が保証され、超準モデルの存在を否定できる。すなわちPa'も範疇的。

以上から、{x∈I|∀y(φ(y)⇒x∈y)}:=X がPa'を満たすことが言えれば（同型の違いを除いて）Xは標準自然数だけを持つと言える。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/601

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