数学基礎論・数理論理学 その19 (606ﾚｽ)
上下前次1-新
1(3): 2023/10/06(金)22:38 ID:tsskr+sA(1/3) AAS
数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
省8
526: 2024/12/13(金)12:53 ID:IICqUMpV(1) AAS
数理論理学の教科書ってなんか
思いが勝って？意味不明瞭てか
定義して論証するスタイルから
逸脱してしまってる本もあるな
何を言おうとしているか曖昧で
527: 2024/12/13(金)14:06 ID:4qaWHamy(1) AAS
具体的に書名と該当する文章を記せ
ここに書けないならブログに書いてリンクを張れ
できないなら黙って●ね
528(1): 2024/12/13(金)17:28 ID:WbV8oUaV(1) AAS
定義して定理を証明するの繰り返しになってない数理論理学の本などあるわけがない
529(5): 2024/12/14(土)00:47 ID:uyPb+8af(1) AAS
>>528
その前に曖昧な「思い」を語って
定義が明確でなく証明も曖昧な本
530: 2024/12/14(土)01:00 ID:lG69qVA1(1/2) AAS
>>529
じゃあその本を引用してくれよ
お前が言ってること解析入門君以下だよ
531: 2024/12/14(土)23:04 ID:lG69qVA1(2/2) AAS
>>529
まだ？
結局いつもの妄想だったの？
532: 2024/12/15(日)18:29 ID:fyR+w7xX(1) AAS
>>529
「思い」の部分はいいから、試しに曖昧な定義ってのを貼ってごらんよ
なんでできないの？解析入門君でもできるのに
533: 2024/12/16(月)18:24 ID:iyAgqqtd(1) AAS
>>529
まだ？
これ自己紹介だったってオチ？＞思いが勝って？意味不明瞭
534: 2024/12/16(月)22:17 ID:8864eXoA(1) AAS
甘ちゃんね
535: 2024/12/18(水)03:26 ID:TlfsWdag(1) AAS
>>529
まだ？
君のqiitaに書いてくれてもいいんだよ
リンクは上のほうに貼ってあったし
536: 2024/12/18(水)07:07 ID:maOdtkR0(1) AAS
さっさと出て来て、なぜ集合のことを集合ではなくクラスと呼ぶのか定義に基づいて説明しろよ
537: 2024/12/23(月)11:43 ID:hUexyzcT(1/2) AAS
74 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2024/12/23(月) 10:25:49.39 ID:xuo45Noy
「なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？」スレの989
>『{}∈{{{}}}』について、個別に真だの偽だのを論じたことはない
この期に及んで言い逃れかい？
じゃあ以下の何がなぜ間違いか言ってごらん
（引用開始）
また正則性公理と関係無く推移律 a∈b ∧ b∈c ⇒ a∈c は成立しない
省5
538: 2024/12/23(月)11:43 ID:hUexyzcT(2/2) AAS
75 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2024/12/23(月) 11:22:56.67 ID:DXqGPbwQ
集合{{{}}}の要素とは
最外の{}を外した項の列の中のそれぞれの項
したがって{{}}しかない
これ豆な 知らん奴は大学１年落第
539: 07/04(金)02:50 AAS
なぜ哲学は無意味で科学のみが学問と言えるのか
体系内と体系外の正しさ
体系内の正しさ
自明な正しさ
定義 論理構造だけで自明に真となる命題
例 命題論理の恒真式（トートロジー）
価値 形式的には正しくても新たな洞察を生まず、議論に貢献しない
省35
540: 07/04(金)02:50 AAS
主観・感情・読者解釈の形式化可能性
任意のテキストは背後にオントロジー（背景定義）を置くことで弱算術 Q の骨格を必然的に含む。たとえば
– 聖書「C(g,ω)」（創世記1:1）
– 源氏物語「L(genji,y,t)」「R(r,⌜L⌝,t)」
これらを含む理論 T は
再帰的可算（Henkin 1950）、
任意 r.e. 集合を Σ¹ 式で表現（Shepherdson 1961）、
省20
541: 07/04(金)02:50 AAS
数学はもちろん形式科学だから学問
542(1): 07/04(金)02:51 AAS
出来るはずのない論理のタブーを犯しているため哲学や形而上学は学問ではない
543(1): 07/04(金)03:04 AAS
なぜ哲学は無意味で科学のみが学問と言えるのか
体系内と体系外の正しさ
体系内の正しさ
自明な正しさ
定義 論理構造だけで自明に真となる命題
例 命題論理の恒真式（トートロジー）
価値 形式的には正しくても新たな洞察を生まず、議論に貢献しない
省35
544: 07/04(金)03:04 AAS
主観・感情・読者解釈の形式化可能性
任意のテキストは背後にオントロジー（背景定義）を置くことで弱算術 Q の骨格を必然的に含む。たとえば
– 聖書「C(g,ω)」（創世記1:1）
– 源氏物語「L(genji,y,t)」「R(r,⌜L(genji,y,t)⌝,t)」
これらを含む理論 T は
再帰的可算（Henkin 1950）、
任意 r.e. 集合を Σ¹ 式で表現（Shepherdson 1961）、
省26
545(4): 07/04(金)04:04 ID:UZ8rVv9G(1) AAS
>>542
「哲学や形而上学は学問ではない」という意見だけど、それは一般的な見方とは違うね。
多くの大学で哲学や形而上学はちゃんとした研究分野として扱われているし、歴史的にも重要な学問として認識されている。例えば、古代ギリシャのプラトンやアリストテレスから近代のデカルトやカント、現代の分析哲学まで、多くの思想家たちが論理に基づいた思考を展開してきた。彼らの議論は、論理的な整合性を重んじ、緻密な思考によって構築されている。
「出来るはずのない論理のタブーを犯している」という点が具体的に何を指しているのか不明だけど、もしそれが哲学的な問いの性質、つまり経験的な検証が難しい領域を扱っていることだとしたら、それは哲学の特性であって、学問としての価値を否定するものではない。むしろ、科学では扱えない根源的な問い、例えば「存在とは何か」「知識はどのようにして得られるのか」「道徳の基礎は何か」といった事柄を探求するのが哲学の役割だ。
これらの問いは、論理的な思考や概念分析を通して深く掘り下げられ、人文科学や社会科学だけでなく、自然科学の基礎にも影響を与えている。学問の定義は多様だけど、一般的には体系的な知識の探求、批判的な思考、そして議論の構築が含まれる。哲学や形而上学は、まさにこれらの要素を満たしていると言えるだろう。
546: 07/04(金)04:35 AAS
>>545
論理的思考は不可能で権威主義と
大学でホメオパシー教えてたら学問と
知能0
タブーが何が書かれている
ゲーデルの第二不完全性定理違反
ウィトゲンシュタインによる形而上学の無意味性証明すら知らんアホが吠えんなや
547: 07/04(金)04:35 AAS
>>545
なぜ哲学は無意味で科学のみが学問と言えるのか
体系内と体系外の正しさ
体系内の正しさ
自明な正しさ
定義 論理構造だけで自明に真となる命題
例 命題論理の恒真式（トートロジー）
省36
548: 07/04(金)04:35 AAS
>>545
主観・感情・読者解釈の形式化可能性
任意のテキストは背後にオントロジー（背景定義）を置くことで弱算術 Q の骨格を必然的に含む。たとえば
– 聖書「C(g,ω)」（創世記1:1）
– 源氏物語「L(genji,y,t)」「R(r,⌜L(genji,y,t)⌝,t)」
これらを含む理論 T は
再帰的可算（Henkin 1950）、
省27
549: 07/04(金)04:36 AAS
>>545
感情・解釈・文化的文脈・美学の形式化可能性
任意の感情（喜び・悲しみ）、解釈（読者反応）、文化的文脈、美学的価値判断は、以下のようにオントロジー層で定義・形式化できる。
– 個体定数や関係記号を用いて「感情状態」「解釈行為」「文化的属性」「美学的評価」を命題として表現
– 時点や対象を数える 0, S() を導入し、読者や文化集団ごとの反応を R(r,p,t) の形で量化
– 「美的快の強度」「文化的背景の識別」「解釈パターン」を数理モデル化して Σ¹ 式で表現
これにより、どのような主観的要素であっても弱算術 Q の骨格を含む形式体系に組み込まれ、第二不完全性定理の射程外には逃げられない。
550: 07/05(土)19:16 ID:IkzxlKx6(1) AAS
殺害予告常習犯フクロナガサ晒しage
551: 09/24(水)09:24 ID:b6OfntkE(1/3) AAS
カントールのパラドックスを考えていた。
素朴集合論では
集合の集合の濃度は最大でも可算無限ではないだろうか。
そうなると、パラドックスにはならない。
素朴なので無制限な内包公理も無く、実数直線の意味での連続性を持つ連続な集合は無いだろう。
素朴集合論にはZFCの分出公理に相当するものが最初から入っていると考えられる。
どうだろうか？
552: 09/24(水)11:30 ID:b6OfntkE(2/3) AAS
Frápolli1991によれば、
数学への実在論的アプローチによる、ということである。
分出公理に相当するものは、この実在論的アプローチであった。
なんにせよ、集合の集合の要素は集合であり、要素としての集合の内部には立ち入らない。
これは非可算無限な集合を可算無限な集合にマッピングできる可能性があるということだろう。
実数を集合論によって可算無限にマッピングできる！ （ただし、実数の解釈は一般的なものと異なることになるが。数学におけるひも理論か？）
553: 09/24(水)11:40 ID:b6OfntkE(3/3) AAS
（数学における）ひも理論ではなく超ひも理論でもよいのだが、
超の場合、超対称性も必要になる。集合論そのものが超対称性を持っていると思う。
すっごく簡単にいえば、数学（数学的対象）も「波」だ。
554(1): 09/25(木)18:44 ID:0YzaadlK(1) AAS
実在論的アプローチや、分出公理の意味などを考えるとき、
集合は、アクセス可能なものでしか構成できないのだろうと思った。
アクセス可能性。
Ｎ次元もしくは無次元において線でつなげられるかどうか。無矛盾性の再定義。
555: 09/26(金)06:21 ID:CsJXi22l(1) AAS
>>554
意味の通る文章を書いてほしい
556: 09/26(金)10:52 ID:HBlR/4HE(1/3) AAS
>>543
単に哲学をそれ以外の言葉で呼び変えることで哲学を名義上消去しただけにしか見えんが（笑）
557: 09/26(金)10:55 ID:HBlR/4HE(2/3) AAS
論理学は形而上学であり認識論でありしたがって哲学である
といいだしたらどう反論するつもりなのか？
存在を消去した論理は可能か？
認識を消去した論理は可能か？
無理じゃね？
558: 09/26(金)10:56 ID:HBlR/4HE(3/3) AAS
そもそも
認識抜きの存在はない
存在なしの認識もない
要するに存在と認識は表裏一体
559: 09/26(金)11:30 ID:/dKhEejY(1/6) AAS
素朴集合論は集合論のパラドックスと関係ない。
Frápolli1991を調べてみると、ようするに、実在論的アプローチによって素朴集合論を解釈した場合だ。
そこでZFの古い分出公理を調べてみると、これも、実在論的アプローチによってパラドックスを解消していた()
560: 09/26(金)11:36 ID:/dKhEejY(2/6) AAS
そして、非可算濃度を持つ集合ってあるのか、と調べてみると、実数の集合は非可算濃度だ。
しかし、実数の集合が点の集合であった場合、いくら点をあつめて実数直線にはならない。
これを集まりの集まりと考えればなんとかなりそうだが、集まりの要素が集まりであった場合、
要素としての集まりの内部にまで立ち入ってよいのか（アクセス可能性：アクセスし易さでではない）ということ。
561: 09/26(金)11:42 ID:/dKhEejY(3/6) AAS
さらに、実数直線を考えてみると、これはアレフONEだけでなくアレフ２やそれ以上の濃度の実数直線すらあると思える。
これを実数の集合などと単純に考えてよいのだろうか。
562: 09/26(金)13:27 ID:PbcgAUUk(1) AAS
実在論的アプローチとは具体的に何かいえるかい？ ド素人
563(1): 09/26(金)17:21 ID:/dKhEejY(4/6) AAS
Notas sobre la evolución del realismo en la obra de G. Cantor
でも読んでくだされ。
わからないことは Maria J. Frápolli 本人に質問してくださいね。
564: 09/26(金)17:43 ID:cE2PwCOr(1) AAS
>>563
かいつまんだ説明ができない人間は何も理解していない
565: 09/26(金)17:48 ID:OApD2Sio(1) AAS
こいつが何を言ってるかは分からんが、「素朴集合論から矛盾が出てくる」とか言う奴はそいつの直観が間違ってるだけだろと思う
566: 09/26(金)18:23 ID:/dKhEejY(5/6) AAS
分出公理を実在論的アプローチだとして考えるなら、
問題は、その（数学的）実在論の扱い方になる。
そこでこれをAccessibilityだと考えた。
xx的実在によるアプローチのひとつに、朝永のひも理論がある。
パラドックス回避のために大きさのようなものをもつ数学的ひもを集合論に導入できるものかどうか
考え中。
567: 09/26(金)18:26 ID:/dKhEejY(6/6) AAS
矛盾とパラドックスの違いのわからないやつはほっておこう。
568: 09/26(金)18:51 ID:f0rZ2tau(1/5) AAS
内包公理を採用する公理系において X:={x|¬x∈x} と定義。
定義から直ちに ∀y((y∈X⇒¬y∈y)∧(¬y∈X⇒y∈y)) が成り立つ。
特に y=X のとき、X∈X⇔¬X∈X が成り立つが、これは論理的に矛盾している。
よって内包公理を採用する公理系は矛盾している。
569: 09/26(金)19:20 ID:jwGIJR6a(1/3) AAS
ZFC公理系の無限公理により存在が許される無限集合から自然数集合を分出するにはどうしたらいいか解説してください
Gemini(pro 2.5)に聞いても循環論法の域を出ないような解説しかしてくれません
最小の機能的集合には余計な元が含まれないことを示すため「0から有限回繰り返しても到達できない元」を考えるって言うんだけど、"有限回" ってこんなの自然数集合を既知として使ってるも同じでしょう?
指摘すると「なるほど確かに鋭い指摘です」と返事だけはいいんだけど結局は同じ話を繰り返されます
570(1): 09/26(金)19:34 ID:f0rZ2tau(2/5) AAS
無限公理が存在を主張する集合を帰納的集合と呼ぶ。
集合xが帰納的集合であることをφ(x)と表す。φ(I)とする。
{x∈I|∀y(φ(y)⇒x∈y)} は自然数全体の集合（要証明）。
571(1): 09/26(金)19:51 ID:f0rZ2tau(3/5) AAS
>{x∈I|∀y(φ(y)⇒x∈y)}
は要するにあらゆる帰納的集合の共通部分のこと。帰納的集合の共通部分は帰納的集合なので最小の帰納的集合となる。
なぜ素直にあらゆる帰納的集合の共通部分として定式化しないかと言えば、ZFでは帰納的集合全体の集合を構成できないから。
572(3): 09/26(金)20:18 ID:jwGIJR6a(2/3) AAS
>>570
そう、そうやって作った最小の帰納的集合には我々が普通に考えられる自然数しか含まれていない事を示してほしいんですよ
つまり0から始めて次の次の...と有限回で達しない元は含まれていないと
でも "有限回" って時点で 自然数集合の存在が前提じゃないですか?
その辺りGeminiにツッコみ入れても「これは直感的な表現なので...」と逃げて終わりです
573(1): 09/26(金)21:05 ID:f0rZ2tau(4/5) AAS
>>572
自然数全体の集合Nの定義は分かる？
574(1): 09/26(金)22:38 ID:jwGIJR6a(3/3) AAS
>>573
全ての帰納的集合の交叉から作った最小の帰納的集合を "自然数集合" と定義する、別にそれでもいいです
でもそれだけだと0から有限回で辿りつける元(我々がよく知ってるつもりの自然数)しか含まない保証はないわけです
ちゃんと証明しようにも「0から有限回で辿りつける元しか含まない集合」の存在が前提になってしまう(ように見える)のが気になっています
575(1): 09/26(金)23:04 ID:f0rZ2tau(5/5) AAS
>>574
ああやっぱり分かってないね。
ペアノの公理を満たす集合のことを自然数全体の集合Nと言い、Nの元を自然数と言う。
だからあなたの問題意識
>我々が普通に考えられる自然数しか含まれていない事を示してほしい
は悪いけどまったくトンチンカンです。
576: 09/27(土)02:32 ID:qUL3Y1co(1/5) AAS
どっちの定義でも別によくね？少なくとも分かってないってことにはならんやろ
577(1): 09/27(土)10:32 ID:BkyF1P8S(1/10) AAS
現代数学において自然数の定義はひとつだよ
そんなの関係ねえ 俺は俺の道を行く と言うならご自由にどうぞ
578: 09/27(土)10:36 ID:8QK/7CNS(1) AAS
Oxfordの辞典にはペアのの公理は書かれていない
579: 09/27(土)10:51 ID:BkyF1P8S(2/10) AAS
だから君がそれを信じるならそれでいいじゃん
580(1): 09/27(土)11:07 ID:diLRMAwI(1/2) AAS
>>577
それは素朴すぎる
限定算術みたいな研究対象もあるので
581(1): 09/27(土)11:44 ID:BkyF1P8S(3/10) AAS
>>580
君の主張は
限定算術みたいな研究対象があるから自然数の定義は唯一でない
でよい？
582(1): 09/27(土)11:47 ID:diLRMAwI(2/2) AAS
>>581
小泉進次郎みたい
583: 09/27(土)11:57 ID:BkyF1P8S(4/10) AAS
>>582
違うと言うなら君の主張を君自身で述べればいいだけ
なぜ逃げる？
584: 09/27(土)12:00 ID:BkyF1P8S(5/10) AAS
まずは君の主張を確定させてくれないと、こちらとしては何も言えない
それが狙いかい？
585: 09/27(土)12:36 ID:fLAeLOLb(1) AAS
自然数を語るのに集合論は必要ないけどな
PAでいい
型理論を基礎にして自然数型を考えてもいい
586: 09/27(土)12:51 ID:BkyF1P8S(6/10) AAS
それはそうだが
>ZFC公理系の無限公理により存在が許される無限集合から自然数集合を分出するにはどうしたらいいか解説してください
からの流れだから
587: 09/27(土)15:54 ID:sOeMGv0M(1/3) AAS
>>571 ID:f0rZ2tau
＞{x∈I|∀y(φ(y)⇒x∈y)}は
＞要するにあらゆる帰納的集合の共通部分のこと。
＞帰納的集合の共通部分は帰納的集合なので
＞最小の帰納的集合となる。
>>572 ID:jwGIJR6a
＞そう、そうやって作った最小の帰納的集合には
省9
588(1): 09/27(土)16:03 ID:sOeMGv0M(2/3) AAS
>>575
>あなたの問題意識
>「我々が普通に考えられる自然数しか含まれていない事を示してほしい」
>は悪いけどまったくトンチンカンです。
トンチンカンとはいえないけど、「」は結果としてはできない
任意の自然数ｎに対して ｎ＜ωとなる自然数ωが存在する、という論理式を追加する
ｎ＜ωは、任意の有限個の自然数の存在と両立する
省6
589(1): 09/27(土)16:10 ID:sOeMGv0M(3/3) AAS
＞現代数学において自然数の定義はひとつだよ
ただそれを満たす自然数のモデルは一つではない
算術の超準モデル
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
算術の標準モデルを
「いかなる算術モデルにも含まれる元しか含まない」
とする
省6
590: 09/27(土)18:20 ID:BkyF1P8S(7/10) AAS
>>588
>>あなたの問題意識
>>「我々が普通に考えられる自然数しか含まれていない事を示してほしい」
>>は悪いけどまったくトンチンカンです。
>トンチンカンとはいえないけど、「」は結果としてはできない
いやトンチンカン。なぜなら示すべきは
{x∈I|∀y(φ(y)⇒x∈y)}:=X
省2
591: 09/27(土)18:30 ID:BkyF1P8S(8/10) AAS
>>589
>算術の超準モデル
>外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ぜんぜん関係無い。なぜなら
>{x∈I|∀y(φ(y)⇒x∈y)}:=X
が
>ZFC公理系の無限公理により存在が許される無限集合から自然数集合を分出するにはどうしたらいいか解説してください
省1
592: 09/27(土)22:39 ID:qUL3Y1co(2/5) AAS
関係ないのかな
超準モデルみたいな事態になってないことが示したいことじゃないんけ？
593: 09/27(土)23:42 ID:BkyF1P8S(9/10) AAS
>X⊂ω
じゃ不十分と？
594: 09/27(土)23:47 ID:qUL3Y1co(3/5) AAS
それで十分だけど、Xがペアノの公理を満たすこととは違うよね
595: 09/27(土)23:54 ID:BkyF1P8S(10/10) AAS
>ZFC公理系の無限公理により存在が許される無限集合から自然数集合を分出するにはどうしたらいいか解説してください
への回答としてはXがペアノの公理を満たすこと
>「我々が普通に考えられる自然数しか含まれていない事を示してほしい」
への回答としてはX⊂ωであること
を示せばいんじゃね？ 知らんけど
596: 09/27(土)23:57 ID:qUL3Y1co(4/5) AAS
いやωをどう定義したかによるな
ω:=上のX
以外の流儀があるんだろうか
597: 09/27(土)23:58 ID:qUL3Y1co(5/5) AAS
普通の自然数しか含まれていないというのがなかなかはっきり書けないから適当でいいか
598(1): 09/28(日)00:39 ID:oZZhgLQ6(1/2) AAS
>>572 (続き)
分かってないなりにもう少し書いてみます
全ての帰納的集合の交叉を N' とします。
分出公理により N' は"集合" です
自然数の集まり: N
関数 S(x) := x ∪ {x}
述語 P(x) := ∃n∈N( x = S^n(0) )
599: 09/28(日)01:00 ID:oZZhgLQ6(2/2) AAS
>>598 (途中送信してしまった)
要するに極々素朴な直感を書き出すと
N = { x ∈ N' ; P(x) } と定義しても良いでしょうと
で、分出公理により N は "集合" です、
これ証明になってませんよね
問題なのは P(x) の "定義" です
n∈N : Nを定義する前に出てきちゃいました
省5
600: 09/28(日)03:18 ID:zC51MUoh(1) AAS
有限回でたどり着けるを文字通りに定義するのは無理そうな気がするね
どうしてもNに依存しちゃうし、Nの元nについて、n回っていうのが有限回の定義だと認めないとだめなんじゃないかなあ
601: 09/29(月)16:55 ID:t8iNrpWU(1/3) AAS
自分の考えを書いてみる。有識者に見てもらいたい。
述語P(n)の量化（この文脈においては部分集合の量化と等価）を一階言語で表現できないため、オリジナルのペアノの公理Pa(Peano axioms)は二階言語で書かれている。
Paは範疇的、すなわち、(N,0,S),(N',0',S')がともにPaを満たすなら同型写像f:N→N'が唯一存在してf(0)=0'∧f(S(n))=S'(f(n))（デデキントが証明）。
一方でPA(Peano arithmetic as first-order theory)は範疇的でない。なぜなら一階言語では述語P(n)の量化ができないため、P(n)をパラメータとする公理図式が採用されているがパラメータは可算個しか許されないため、PAはPaよりも弱い公理系となっている。
そのためNの最小性が保証されず、超準モデルの存在を否定できない。
（This means that the second-order Peano axioms are categorical. (This is not the case with any first-order reformulation of the Peano axioms, below.)）
PaをZFの言語にPa'として翻訳できる。
省5
602: 09/29(月)16:55 ID:t8iNrpWU(2/3) AAS
[参照]
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Models
This means that the second-order Peano axioms are categorical. (This is not the case with any first-order reformulation of the Peano axioms, below.)
Set-theoretic models
The Peano axioms can be derived from set theoretic constructions of the natural numbers and axioms of set theory such as ZF.
The set of natural numbers N is defined as the intersection of all sets closed under s that contain the empty set.
省1
603: 09/29(月)22:21 ID:t8iNrpWU(3/3) AAS
Peano arithmetic as first-order theory
The axiom of induction above is second-order, since it quantifies over predicates (equivalently, sets of natural numbers rather than natural numbers). As an alternative one can consider a first-order axiom schema of induction. Such a schema includes one axiom per predicate definable in the first-order language of Peano arithmetic, making it weaker than the second-order axiom.[25] The reason that it is weaker is that the number of predicates in first-order language is countable, whereas the number of sets of natural numbers is uncountable. Thus, there exist sets that cannot be described in first-order language (in fact, most sets have this property).
604: 10/02(木)16:24 ID:oC122Iq+(1/2) AAS
集合論のモデルの中では自然数の集合は１つである
ただ、集合論のモデルは１つではないが・・・
605: 10/02(木)16:26 ID:oC122Iq+(2/2) AAS
つまり、集合論のモデルの中に唯一ある自然数の集合が標準的自然数である、ということはできない
集合論のモデルが標準モデルでない限りは・・・
606: 10/07(火)16:30 ID:SEt8tnLr(1) AAS
数とは数学的対象のことだが、基本的には自然数とその関係性だけで成り立っていると考えたい。
自然数とは抽象的な量子のことであり、粒子性と波動性を持つ。
そして自然数という仮想粒子は統計的にボース粒子である。
では統計的にフェルミ粒子となる数とはどういう数なのだろう。
コインとかサイコロはフェルミだが、それは数学的存在なのだろうか？
統計性の異なる数学的対象。とりあえず統計的にフェルミ粒子となるフェルミ自然数を考えてみるっか。
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