数学基礎論・数理論理学 その19 (606ﾚｽ)
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568: 09/26(金)18:51 ID:f0rZ2tau(1/5) AAS
内包公理を採用する公理系において X:={x|¬x∈x} と定義。
定義から直ちに ∀y((y∈X⇒¬y∈y)∧(¬y∈X⇒y∈y)) が成り立つ。
特に y=X のとき、X∈X⇔¬X∈X が成り立つが、これは論理的に矛盾している。
よって内包公理を採用する公理系は矛盾している。
570(1): 09/26(金)19:34 ID:f0rZ2tau(2/5) AAS
無限公理が存在を主張する集合を帰納的集合と呼ぶ。
集合xが帰納的集合であることをφ(x)と表す。φ(I)とする。
{x∈I|∀y(φ(y)⇒x∈y)} は自然数全体の集合（要証明）。
571(1): 09/26(金)19:51 ID:f0rZ2tau(3/5) AAS
>{x∈I|∀y(φ(y)⇒x∈y)}
は要するにあらゆる帰納的集合の共通部分のこと。帰納的集合の共通部分は帰納的集合なので最小の帰納的集合となる。
なぜ素直にあらゆる帰納的集合の共通部分として定式化しないかと言えば、ZFでは帰納的集合全体の集合を構成できないから。
573(1): 09/26(金)21:05 ID:f0rZ2tau(4/5) AAS
>>572
自然数全体の集合Nの定義は分かる？
575(1): 09/26(金)23:04 ID:f0rZ2tau(5/5) AAS
>>574
ああやっぱり分かってないね。
ペアノの公理を満たす集合のことを自然数全体の集合Nと言い、Nの元を自然数と言う。
だからあなたの問題意識
>我々が普通に考えられる自然数しか含まれていない事を示してほしい
は悪いけどまったくトンチンカンです。
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