[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ5 (1002ﾚｽ)
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664: 2023/07/15(土)08:10 ID:CXkqKxb9(1/29) AAS
長い！
665: 2023/07/15(土)08:11 ID:CXkqKxb9(2/29) AAS
単文ごとにコピペしろ！
666: 2023/07/15(土)08:12 ID:CXkqKxb9(3/29) AAS
多変数複素解析学においては、
関数や写像をそれらの解析性を保ったままで拡張する問題
は様々な場面で現れ、重要である。
667(1): 2023/07/15(土)08:12 ID:CXkqKxb9(4/29) AAS
解析接続によって写像の定義域が拡張されて生ずる複素多様体
は任意ではありえず、凸性に似た幾何学的な制約を受ける。
668: 2023/07/15(土)08:13 ID:CXkqKxb9(5/29) AAS
>>667
ここから多変数関数論の基本的諸問題が生ずる。
669: 2023/07/15(土)08:14 ID:CXkqKxb9(6/29) AAS
たとえばこの多様体がC^n上の領域である場合には局所擬凸であり、
したがってこれらは擬凸、すなわち多重劣調和な皆既関数を持つので、
その結果として正則凸になる(岡の定理)。
670: 2023/07/15(土)08:15 ID:CXkqKxb9(7/29) AAS
この事実に基礎づけられた解析的方法により、
関数の分解や近似に関わる種々の大域的問題が、
C^n上の領域に対してだけでなくより一般な擬凸多様体上で、
あるときは完全に一般化された設定で、
またある時は然るべき増大度の条件を付けて
解かれてきた。
671: 2023/07/15(土)08:16 ID:CXkqKxb9(8/29) AAS
岡の定理の複素多様体上への一般化は、
最初Stein[St]により岡の原理をなぞる形で行われたが、
これは最初から正則凸性を前提としたもので、
擬凸性の微分幾何的な意味を掘り下げたGrauertの研究[G-1,2]の方が深く、
後にAndreotti-Vesentini[A-V-1,2]やH\"ormander[Hm]のL^2理論、
およびFefferman[Ff]による強擬凸領域上のBergman核の漸近展開の解析
へとつながった。
672(1): 2023/07/15(土)08:17 ID:CXkqKxb9(9/29) AAS
ただしSteinがそのとき導入したクラスは、
正則関数で点が分離され(正則分離的)かつ正則凸であるような多様体であり、
これらの上の解析的連接層のコホモロジー理論は
容易にStein空間まで一般化される(cf. [G-R])。
673: 2023/07/15(土)08:17 ID:CXkqKxb9(10/29) AAS
>>672
すなわち解析関数論の基本的諸命題がStein空間上の定理として記述しうる。
674: 2023/07/15(土)08:19 ID:CXkqKxb9(11/29) AAS
さらにn次元Stein多様体がC^N (N=n+n/2+1)に
複素閉部分多様体として埋め込めることや、
この上での岡の原理の研究が深まったことなどは、
比較的最近になってからのことである(cf. [Ftn])。
675: 2023/07/15(土)08:20 ID:CXkqKxb9(12/29) AAS
L^2理論の方も[Hm]におけるBergmanの予想の解決を起点として、
Feffermanや平地[Hi]らによる核関数の漸近展開という
精密な解析と連動しながら進展を続けている。
676: 2023/07/15(土)08:21 ID:CXkqKxb9(13/29) AAS
その一方で、Grauertは[G-3]において、
複素多様体上では擬凸領域の境界が次元のある解析的集合を含む場合があり、
そのときには領域上の正則関数が定数のみでもあり得ることを示した。
677: 2023/07/15(土)08:22 ID:CXkqKxb9(14/29) AAS
このような領域上の解析としては、
複素境界値問題の本格的な解析であるKohn-Nirenbergの仕事[K-N]や、
それを踏まえたGrauert-Riemenschneiderによる小平のコホモロジー消滅定理の拡張[G-Rms1,2]がある。
678: 2023/07/15(土)08:23 ID:CXkqKxb9(15/29) AAS
中野[N]と藤木[Fk]は弱擬凸領域上で
Andreotti-Vesentini流の完備K\"ahler多様体上の消滅定理を踏まえて、
解析空間のブローダウン条件を解明した。
679: 2023/07/15(土)08:23 ID:CXkqKxb9(16/29) AAS
その後、DiederichとFornaessが[D-F]において
ワームと呼ばれる特異な性質を持つ有界領域を発見し、
複素多様体上でも似た領域が発見されるなど(cf. [D-Oh])、
徐々にこうした弱擬凸領域への理解が進み、
様々な視点から研究されるようになった。
680: 2023/07/15(土)08:26 ID:CXkqKxb9(17/29) AAS
>>666-679
要するに多変数複素関数論の研究とは、つまるところ「凸性」の研究、ということか
681: 2023/07/15(土)08:28 ID:CXkqKxb9(18/29) AAS
複素多様体Mと正則ベクトル束E→M、
および有界な局所擬凸領域Ω⊂Mに対し、
ΩのE-凸性すなわちEの正則切断に関する凸性が、
正則凸性にならってGrauert[G-3]およびPinney[P]によって導入され、
そうなるための幾何学的条件が、[P], [A] および最近の[Oh-2,4]によって与えられた
682: 2023/07/15(土)08:29 ID:CXkqKxb9(19/29) AAS
E-凸性については正則凸性に比べてまだ精密な結果が得られておらず、
例えばベクトル束係数のBergman核についても、
境界挙動が最良と思われる形では示せていない(cf. [Oh-4])。
683(1): 2023/07/15(土)08:30 ID:CXkqKxb9(20/29) AAS
とはいえ、擬凸多様体上では直線束に関する凸性が
乗数イデアル層の解析に使えるという事情があり、
その結果、Grauert[G]によるStein多様体の特徴づけが、高山[T]により
負の標準直線束を持つ擬凸多様体の正則凸性へと拡張された。
684: 2023/07/15(土)08:30 ID:CXkqKxb9(21/29) AAS
>>683
この高山の結果は、ごく最近、
標準直線束が無限遠で負であるような擬凸多様体の正則凸性
へと拡張された(cf. [Oh-5])。
685: 2023/07/15(土)08:31 ID:CXkqKxb9(22/29) AAS
[T]のもう一つの拡張が[Oh-3,6]で得られたが、
これは同様の曲率条件および一定の境界正則性条件の下で、
有界な局所擬凸領域がC^Nの局所閉な解析集合の上へと
正則かつプロパーに写像されるというものであり、
正則凸性までを結論付けるものではない。
687: 2023/07/15(土)08:33 ID:CXkqKxb9(23/29) AAS
結論が正則凸性にまで届かなかったことから生じうる新たな問題群への方向付けを試みるために、
[Oh-2,4]で扱ったものに近いと思われる領域として
Coeur'e-Loeb[C-L]によるSerreの問題への反例を取り上げ、
その関数論的構造をE-凸性の理論と関連する立場から調べてみた。
688(1): 2023/07/15(土)08:34 ID:CXkqKxb9(24/29) AAS
Serreの問題とは
Stein多様体をファイバーとしStein多様体を底空間とするファイバー束が
Steinかどうかを問う問題で、多くの肯定的結果と否定的結果が知られているが、
否定的な場合にも岡の原理の成立[R]が指摘されるなど、
関数論的に興味ある現象が存在するようである。
689(1): 2023/07/15(土)08:35 ID:CXkqKxb9(25/29) AAS
>>688
ここでは[C-L]の例について調べた結果、次を示すことができた。
690(1): 2023/07/15(土)08:41 ID:CXkqKxb9(26/29) AAS
>>689
定理
C^2の有界正則領域Fとσ∈ AutFで次を満たすものが存在する。
1) σは固定点を持たず、
AutFの真性不連続な無限巡回部分群
Γ={σ^k; k∈Z}を生成する。
2) 穴あき円板D^*:={z∈C; 0<|z|<1}と
省5
691(1): 2023/07/15(土)08:43 ID:CXkqKxb9(27/29) AAS
>>690
Demaillyの学位論文[Dm]や筆者の結果[Oh-1]により、
定理１は多変数関数論の古典的な理論の一部を
擬凸でない多様体上に拡張することが
完全に無意味ではないことを示していると考えられる。
692(1): 2023/07/15(土)08:43 ID:CXkqKxb9(28/29) AAS
>>691
そこで定理１の応用を捜したところ、より詳しく次の事実が判明した。
693: 2023/07/15(土)08:45 ID:CXkqKxb9(29/29) AAS
>>692
定理
σは固定点を持たず、
ΓはAutFの真性不連続部分群であり、
商多様体F/Γは正則分離的であるが正則凸ではない。
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