純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）13

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707: １３２人目の素数さん [] 2023/07/26(水) 13:33:47.94 ID:gX0O22uw

>>699
>>１）可算無限長数列の決定番号の期待値は、無限大に発散している
>この期待値の確率空間を教えてもらえますか？

ゼミの先生の疑問符が、ついたようだ>>700
とりあえず私はスルーｗ

１）まず、任意の決定番号 dが、自然数Nの元であることは、>>701の２）に書いた
　逆に、任意のd∈Nをとって、dから先が一致する同値類内の無限列を構成出来て(d-1番目は不一致)
　それを例えば無限列rxとして、rxを代表とできるから、rxのdを決定番号とできる
　よって、一つの同値類における代表dの集合をDと書くと、D=Nだね
２）さて、「箱入り無数目」の一つの同値類内の可算無限列の集合をΩとして
　つまり rx∈Ω で、Ωは非可算濃度であることは、>>661などに書いた
　Ωの一つの元 rxから、決定番号dが決まり、dは自然数である
　>>524の関数hを借用して
　h：Ω→D(＝N) を考える
　この逆関数 h^-1 を考える。あるdに対応する Ωの元たち（無限列rxたち）は、多数ある
　明らかに、dの増加に対して、Ωの元たちの濃度は増大する（証明はいままで述べたので略す）
　だから、Ωを考えて、決定番号Dの期待値（平均値）を、考えると、N同様発散している（証明は背理法による(>>702の２）)）
　なお、強調しておくが、上記のとおり決定番号Dは、一様分布ではない（dを決める代表の分布を反映する）
（また、確率論のプロなら、関数hの可測性を問題にするかもね。この関数の可測性は、ヴィタリの集合の非可測とは異なることを付言しておく）
３）ああ、この期待値の確率空間だったね
　確率空間の記号を下記にならって、 (Ω, F, P) としよう
　但し、いまの場合Ωは、発散する非正則分布なので、コルモゴロフの公理 P(Ω)＝1は満たせない
（詳しくは、https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674744315/713 非正則事前分布を見よ >>601）
　Fは、「事象 d > Dの期待値」からなる
　P(d > Dの期待値)＝0 です

(参考)
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/higuchi/index.html
樋口保成 神戸大
講義情報
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/higuchi/h23kogi/h23kouki/p1-2.pdf
1.1. 確率空間
1.1.4 確率と確率空間
確率空間 (Ω, F, P)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/707

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