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純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）13 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）13 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/
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600: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/07/21(金) 16:19:12.87 ID:L/LQf6Gh >>591 >「箱入り無数目」の決定番号を潰す話を、あとで書こうと思う スレ主です ＜「箱入り無数目」の決定番号を潰す話＞ １）決定番号については、下記をご参照 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674744315/30 ２）記号を整備しよう 有限長さnの数列：sn = (s1，s2，s3 ，・・，sn) 可算有限長さの数列：sN = (s1，s2，s3 ，・・・) 可算有限長さ一点コンパクト化の数列：sN+ = (s1，s2，s3 ，・・・，sω) ３）集合の包含記号を濫用して sn ⊂ sN ⊂ sN+ とできることは見やすい （勿論、sn-1 ⊂ sn も成り立つ） ４）いま、snの極限を考えよう。nが下記のリーマン球面で、北極点に到達するとして lim n→ω sn＝sN+ となる 可算有限長さの数列 sN = (s1，s2，s3 ，・・・)は、一点コンパクト化の数列 sN+からsωを除いたものになる ５）「確率測度は？」（そら耳かも知れないが、ゼミの先生が言ったような気がしたｗ） いま、箱 s1，s2，s3 ，・・・，sωたちは、確率論の意味で独立と仮定する （独立の定義は、一般の確率論の本の通り。また、いまの議論では独立の場合を扱えば十分） 独立の仮定より 確率測度は 1次元空間 si∈R i∈{1，2，3 ，・・・，sω}=N∪ω を考えれば良いことになる いま、確率測度を考えるために、簡単に区間[0,1]に限定して考える （R全体を考えるのは、確率測度としては発散が入り、不都合） （なお、区間[0,1]の実数→コイントスなら{0.1}、サイコロなら{1,2,3・・6}、確率pで{1,2,3・・1/p}(但し1/pは自然数)など、適宜に換えればよい また、区間[0,1]の実数の場合の1点的中は、p＝0である（区間[0,1]のルベーグ測度による確率測度から従う）） つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/600
601: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/07/21(金) 16:22:06.11 ID:L/LQf6Gh >>600 つづき ６）一つの箱に確率pで数が入れられるとする。また、一つの同値類内で考える lemma 1：有限長さnの数列 snで、決定番号n-1以下の確率p、nの確率1-p 証明：決定番号n-1以下の場合、n-1番目が一致しているべきで確率p、nの確率は余事象で1-p lemma 2：確率p＝0で、有限長さnの数列 snで、決定番号n-1以下の確率0、nの確率1 証明：lemma 1で、p＝0とすればよい lemma 3：確率p＝0で、可算有限長さ一点コンパクト化の数列 sN+において、決定番号ωの確率1、ω未満(つまり有限n)の確率0 証明：lemma 2において、上記４）のlim n→ω sn＝sN+ を適用すればよい lemma 4：確率p＝0で、可算有限長さの数列 sN = (s1，s2，s3 ，・・・)において、決定番号ω未満(つまり有限n)の確率0 証明：lemma 3で、sN+からωを除いて、数列 sNとして適用すればよい ７）つまり lemma 4より、「箱入り無数目」のp＝0での決定番号が有限nの確率0が導かれる この傍証として、決定番号が有限nとは、n番目より以降の無限の箱の数が一致する確率であり p^∞＝0となると考えることができることを付言しておく （なお、可算有限長さの数列 sN における決定番号の確率の和は、1にならない 詳しくは、https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674744315/713 非正則事前分布を見よ） ８）結論として、「箱入り無数目」の想定している有限の決定番号{d1,d2,・・d100}などは p＝0で確率0の事象であり、仮に99/100が得られても、(99/100)*0＝0であり 「箱入り無数目」の決定番号を使った確率計算は、無意味である QED （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96 コンパクト化 一点コンパクト化の例 自然数全体（離散位相）Nの一点コンパクト化は Nに最大元ω を付け加えた順序集合N∪ω の順序位相と同相になる （下記のリーマン球面の自然数部分＋北極点） https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Riemann_sphere1.jpg/500px-Riemann_sphere1.jpg 複素平面の一点コンパクト化。複素数 A を埋め込み写像P により球面（リーマン球面と呼ばれる）の上の一点 α に写す。図でP (∞)と書かれている部分が無限遠点である (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/601
604: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/07/21(金) 16:48:27.54 ID:L/LQf6Gh >>600 補足 ツッコミがある前に （R全体を考えるのは、確率測度としては発散が入り、不都合） ↓ （R全体の一様分布を考えるのは、確率測度としては発散が入り、不都合） 追伸 ガウス分布（正規分布）のように、無限大で早く減衰する分布ならば R全体を考えることは可 （L^2の手法も似た思想ですかね？ｗ） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/604
612: １３２人目の素数さん [] 2023/07/21(金) 20:55:53.21 ID:Dpf9+zTy >>600-601 スレ主です ＜「箱入り無数目」の決定番号を潰す話＞ に加えて ＜開けた箱と 開けていない箱の比較の話＞ をしよう これが、時枝「箱入り無数目」のトリックの一つ これを、以下説明する １）いま、二人が居て、箱が一つずつ計二つ これを、AとBとしよう いま、サイコロの目を入れる 大きい数の人が勝ち（同数は引き分け） 同時に開けるならば、勝ち負けの確率は1/2だ しかし、Aの箱を開けて1だったら？ 引き分け以上は望めない 一方、Aの箱を開けて6だったら？ 負けはない 平均の3だったら？ 勝ち負け半々だ ２）さて、いま上記は数の範囲に制限があり、平均値3の話です ところが、決定番号には上限がなく、平均値も∞に発散している いま仮に、決定番号が、自然数Nの一様な分布だとしよう Aの箱を開けて有限のｍだったら？ 平均値が∞に発散しているのだから、まず勝てない （Bの箱は未開封で、有限のｍより大きいと予想されるから） ３）つまり、決定番号のように上限がなく、平均値も∞に発散している場合 Aの箱を開けて有限のｍを得たら、Bは平均値も∞に発散しているのだから 未開封のBの箱の数は、ｍより大と予想され、Aは勝てないという予想になる これは一見おかしな話に見えるが、その原因は、 ”決定番号のように上限がなく、平均値も∞に発散している”数との大小比較を問題にしているからである つまり、分かっている数ｍ（有限）と、”上限がなく、平均値も∞に発散している”分布の数との比較をすることから来るトリックなのです http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/612
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