純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）13

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10: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/27(金) 10:54:24.43 ID:cjoFjffz

>>9
コメントありがとう

１）整数係数のアーベル方程式 ⊂ 代数方程式
　とします
　そうすると
　整数係数の代数方程式←→有理数係数の代数方程式
　の関係があり
　有理数係数の代数方程式でアーベル方程式を考えれば良い
２）下記のクロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker?Weber theorem)があるので
　問「それらの根を有理数体Qに添加して得られる体を含むような最小の円分体は、有理数Qに1の何乗根を添加して出来るものか？」
　は、答えはYes で、何乗根が必要かは、「導手」を使うようですね
　「二次体の導手は、それらの判別式（英語版）の絶対値」とあるので、一般には判別式だけでは情報不足でしょう

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
クロネッカー・ウェーバーの定理
代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることが示せる。クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker?Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、Q のアーベル拡大体はある円分体に含まれるという定理である。言い換えると、有理数体上の拡大体でそのガロア群がアーベル群である体に含まれる代数的整数は、1の冪根の有理係数による和として表すことができる。
体論的定式化
Q のアーベル拡大 K が与えられると、K を含む最小な円分体が存在する。この定理によって、K の導手 n を 1 の n 乗根により生成される体に K が含まれるような最小の整数 n として定義できる。例えば、二次体の導手は、それらの判別式（英語版）の絶対値であり、これは類体論で一般化される事実である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8E%E6%89%8B
導手
代数的整数論で、局所体や大域体の有限次アーベル拡大の導手(conductor)は、拡大の分岐を定量的に測るものである。導手の定義はアルティン写像に関連がある。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/10

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