[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）13 (1002ﾚｽ)
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225(2): 2023/03/16(木)08:06 ID:viNWkpRf(1/5) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ[html]:www.riken.jp
理化学研究所 2023年3月15日
基礎科学特別研究員インタビュー② 38歳でたどり着いた数学者としての大きな第一歩
理研には、国際的に活躍する研究者の育成を目指し、若手研究者が自ら設定した研究課題を自由な発想で主体的に研究できる「基礎科学特別研究員制度」があります。1989年に始まったこの制度は、現在公募中の2024年度採用で35回目となります。これを機に、各分野で活躍する先輩たちと現役にインタビューしました。第2回は、数理創造プログラム（iTHEMS）の佐野 岳人 基礎科学特別研究員です。
佐野 岳人（サノ・タケト）
数理創造プログラム
省5
226(2): 2023/03/16(木)08:06 ID:viNWkpRf(2/5) AAS
>>220
つづき
現在、研究している「コバノフホモロジー理論」は修士課程のときに指導教員に勧められたテーマで、特徴はコンピュータを使って計算できること。ここで、自分の得意なプログラミングと以前から興味があったトポロジーが初めて結びつきました。修士課程で、純粋数学においてもプログラミング技術は有用であると知り、博士課程ではもっとそのスキルを生かして研究を深めたいという思いもありました。
──その後、基礎科学特別研究員に応募した理由を聞かせて下さい。
興味を持ったのは大学院の研究室のポスドク研究員2人がともにiTHEMS出身者だったことです。iTHEMSは、数理科学を中心に、分野横断的に研究を進めていくことを掲げていたので、他分野の研究者との交流にも期待しました。見学に行ったところ、雰囲気がすごく明るく、ぜひ一員になりたいと思い応募したのです。今は、自分がやりたい研究を伸び伸びとやらせてもらえる研究環境にとても満足しています。
──基礎科学特別研究員を目指している若手研究者にメッセージをお願いします。
省4
227(2): 2023/03/16(木)08:14 ID:viNWkpRf(3/5) AAS
>>226 訂正 220→>>225
関連
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
コバノフホモロジー( Khovanov homology)は、鎖複体のホモロジーとしてできる向きづけられた結び目の不変量である。コバノフホモロジーはジョーンズ多項式のカテゴリ化（英語版）として考えられる。
コバノフホモロジーは1990年代の終わりに、ミハイル・コバノフ（英語版）(Mikhail Khovanov)により導入された。彼は当時はカリフォルニア大学デービス校に在籍しており、現在はコロンビア大学に所属している。
概要
結び目もしくは絡み目 L を表現する図形 D に、コバノフ括弧 [D]、これは次数付きベクトル空間の鎖複体、を割り当てる。すると、ジョーンズ多項式の構成の中でのカウフマン括弧の類似物となる。次に、[D] を（次数付きベクトル空間の中の）一連の次数シフトと（鎖複体の中の）高さシフトにより正規化して、新しい複体 C(D) を得る。この複体のホモロジーは L の不変量であることが分かり、その次数付きオイラー標数は L のジョーンズ多項式であることが分かる。
省8
228(2): 2023/03/16(木)08:15 ID:viNWkpRf(4/5) AAS
>>227
つづき
L の コバノフホモロジー は、この複体 C(D) のホモロジー H(L) である。コバノフホモロジーは実際に L の不変量となっていて、図形の選択には依存しないことが分かる。H(L) 次数付きオイラー標数は、L のジョーンズ多項式であることも分かる。H(L) は、ジョーンズ多項式以上の L の情報を持っていることが示されているが、完全な詳細は未だ完全には理解されていない。
2006年にドロール・バー-ナタン（英語版）(Dror Bar-Natan)は、任意の結び目のコバノフホモロジー(もしくはカテゴリ)を計算するに十分なコンピュータプログラムを開発した。[1]
関連する理論
コバノフホモロジーでもっとも興味を持たれている側面の一つに、完全系列が形式的に3次元多様体（英語版）のフレアーホモロジーの完全系列に似ていることである。さらに、ゲージ理論やその類似を使い示すことでのみ、結果を再現することがある。ヤコフ・ラスムッセン（英語版）(Jacob Rasmussen)のクロンハイマーとムロフカの定理の別の新しい証明があり、これはミルナー予想の証明である（以下を参照のこと）。予想であるが、コバノフホモロジーをピーター・オズバス（英語版）(Peter Ozsvath)とゾルタン・ザボー(Zoltan Szabo)のフレアーホモロジーに関係づけるスペクトル系列がある（ダンフィールド他の2005年も参照）。別のスペクトル系列 (オズバス-ザボー 2005) は、コバノフホモロジーの変形を結び目に沿った分岐した二重被覆のヒーガードフレアーホモロジーと関係づける。三番目 (ブルーム 2009) は、分岐した二重被覆のモノポールフレアーホモロジーの変形に（コバノフホモロジーが）収束するという結果もある。
省1
229(1): 2023/03/16(木)08:15 ID:viNWkpRf(5/5) AAS
>>228
つづき
コバノフホモロジーはリー代数 sl2 の表現論に関係する。
応用
コバノフホモロジーの第一の応用は、ヤコフ・ラスムッセンにより与えられた。彼はコバノフホモロジーを使い、s-不変量（英語版）を定義し、この結び目の整数に値を持つ不変量は、スライス種数（英語版）を有限とし、ミルナー予想を証明することができた。
2010年には、クロンハイマー（英語版）(Peter B. Kronheimer)とムロフカ（英語版）(Tomasz Mrowka)は、コバノフホモロジーが、自明な結び目か否かを識別することを証明した。カテゴリ化された理論は、カテゴリ化されていない理論よりも多くの情報を持ってる。従って、コバノフホモロジーが自明な結び目か否かを識別するからといって、ジョーンズ多項式が自明な結び目か否かを識別するとは限らない。
(引用終り)
省1
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