純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

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828: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf  [] 2023/01/16(月) 19:26:49.77 ID:+5C/5ZVa

宿題に答えておこう

3年前（2020年10月頃）の話だが
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/698-707
705  >(亀井氏のpdfが理解できるなら)機械的計算で解ける
706  >大口叩くなら、やってみな

やってみた

θ[j]を1の23乗根の実部の2倍とする(j=0〜10)
ただし
θ[j+1]は、θ[j]を実部にもつ根の5乗の実部
（またj=10の場合、j+1=0とする）

ζを1の原始11乗根とする
ラグランジュ分解式  11個
λ[j]=(Σ[i=0〜10]ζ^(ji)*θ[i])  (j=0〜10)
は、以下のようにあらわせる

λ[0]＝-1

λ[1]=
(23*
(-2    +2ζ＾2              +2ζ＾5-2ζ＾6+ ζ＾7              -2ζ＾10)＾2
( 1+ ζ       - ζ＾3+2ζ＾4       - ζ＾6-2ζ＾7-2ζ＾8+2ζ＾9- ζ＾10)＾2
( 1-2ζ             -  ζ＾4-2ζ＾5+2ζ＾6+ ζ＾7+2ζ＾8- ζ＾9- ζ＾10)＾2
( 1    +2ζ＾2- ζ＾3-2ζ＾4- ζ＾5+ ζ＾6- ζ＾7       -2ζ＾9+2ζ＾10)＾2
(-2    + ζ＾2+2ζ＾3              -2ζ＾6       -2ζ＾8       +2ζ＾10))^(1/11)

λ[2] =λ[1]*λ[1]*(-2        +2ζ＾9              +2ζ＾6-2ζ＾5+ ζ＾4              -2ζ)/23
λ[3] =λ[1]*λ[2]*( 1+ ζ＾10       - ζ＾8+2ζ＾7       - ζ＾5-2ζ＾4-2ζ＾3+2ζ＾2- ζ)/23
λ[4] =λ[1]*λ[3]*( 1-2ζ＾10             -  ζ＾7-2ζ＾6+2ζ＾5+ ζ＾4+2ζ＾3- ζ＾2- ζ)/23
λ[5] =λ[1]*λ[4]*( 1        +2ζ＾9- ζ＾8-2ζ＾7- ζ＾6+ ζ＾5- ζ＾4       -2ζ＾2+2ζ)/23
λ[6] =λ[1]*λ[5]*(-2        + ζ＾9+2ζ＾8              -2ζ＾5       -2ζ＾2       +2ζ)/23
λ[7] =λ[1]*λ[6]*( 1        +2ζ＾9- ζ＾8-2ζ＾7- ζ＾6+ ζ＾5- ζ＾4       -2ζ＾2+2ζ)/23
λ[8] =λ[1]*λ[7]*( 1-2ζ＾10             -  ζ＾7-2ζ＾6+2ζ＾5+ ζ＾4+2ζ＾3- ζ＾2- ζ)/23
λ[9] =λ[1]*λ[8]*( 1+ ζ＾10       - ζ＾8+2ζ＾7       - ζ＾5-2ζ＾4-2ζ＾3+2ζ＾2- ζ)/23
λ[10]=λ[1]*λ[9]*(-2        +2ζ＾9              +2ζ＾6-2ζ＾5+ ζ＾4              -2ζ)/23

11個の根は以下の式で求まる

θ[j]=(Σ[i=0〜10]ζ^(-ji)*λ[i])/11  (j=0〜10)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/828

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