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純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/
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757: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/15(日) 10:48:10.71 ID:fdSQKtbP >>756 つづき (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%A4%A7 体の拡大 代数性・超越性 K/k を体の拡大とするとき、K の元 α が k 上代数的（だいすうてき、algebraic over k）であるとは、k 係数多項式 f(X) で α が f(X) の根となるようなものが存在するときにいう[6]。k 上代数的な K の元 α を根に持つ k 係数多項式でモニックかつ次数最小のものを α の k 上の最小多項式（さいしょうたこうしき、minimal polynomial）とよび[7]、Irr(α, k, X) のように記す。拡大 K/k で K の各元がすべてk 上代数的であるとき、拡大 K/k は代数的であるといい[8]、K を k の代数拡大体という。拡大 T/k がk 上代数的でないとき、拡大 T/k は超越的（ちょうえつてき、transcendencial）であるという[8]。T の元 t はk 上代数的でないとき k 上の超越元という。t がk 上超越的であることは、「k 上の多項式 f(X) が f(t) = 0 となるならば f = 0 である」ことと同値であり「k に t を添加した体 k(t) は一変数代数関数体 k(X) に同型である」こととも同値である。拡大 T/k が超越的であることは、k 上超越的な T の元 t が少なくともひとつ存在する事と同値である。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/757
855: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/17(火) 18:28:44.88 ID:3oKQI8/3 >>854 つづき （参考） >>756-757より再録 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%A4%A7 体の拡大 多元環は積を持つベクトル空間であるから、拡大 K/k において上の体 K を下の体 k 上のベクトル空間と見なすことができる。k ベクトル空間としての K の次元のことを拡大 K/k の次数（じすう、degree of field extension）といい、[K : k] などで表す[3]。特に、体 K が有限次元 k ベクトル空間なら、拡大 K/k は有限次拡大であるといい、そうでないとき無限次元拡大という https://hooktail.sub.jp/algebra/ExtensionField/ 拡大体 物理のかぎしっぽ 体 F の拡大体 E は， F 上のベクトル空間になっています． 拡大体の拡大次数 ここで，拡大体の表記法を紹介しておきます．体 F に新たに代数的な元 θ を添加して拡大体を作るとき，その拡大体を F(θ ) のように書きます．特に，元を一個だけ添加して得られる拡大体を 単純拡大体 と呼びます． F(θ ) は， F に θ だけ添加した拡大体ですので，単純拡大体です． https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/open/2021koukai-kouza/op2021-001.pdf 合同式 志甫 淳 東京大学大学院数理科学研究科 2021 年 11 月 21?23 日 公開講座「p 進数」 https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/open/2021koukai-kouza/ 2021年度公開講座 『p進数』東大 『合同式』志甫 淳（1時間00分55秒）https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/open/2021koukai-kouza/op2021-001.html 『p進数』阿部 紀行（1時間05分00秒）https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/open/2021koukai-kouza/op2021-002.html 『Hasse-Minkowskiの定理』今井 直毅（1時間06分13秒）https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/open/2021koukai-kouza/op2021-003.html つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/855
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