[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/

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749: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/14(土) 23:21:13.95 ID:p/slNf5Z >>712 再録 >>ζ110=-ζ55 なんですがｗｗ >ζ110を1の原始110乗根とするならそれでOKだが、1は >ζ110=cos(2π/110)+sin(2π/110)i　 >だと勝手に思い込んでるに違いないから、その場合は (引用終り) １）代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する ２）一つは、下記の”n を法とする原始根”で、”乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元” 　こちらは、”原始根が存在するのは n が 2, 4, p^k, 2p^k (p は奇素数 kは自然数) の場合に限られる” 　（石井本「ガロア理論の頂を踏む」の第1章 9,10節の「原始根」は こちら） ３）もう一つは、先の>>745のように ”1の原始冪根”に関して、”1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、n乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという” 　こちらは、”ζn =cos 2π/n +isin 2π/n は 1 の原始n乗根の一つである” 　この場合、普通に ζn =cos 2π/n +isin 2π/n を原始n乗根として採用する ４）この二つを混同する人がいるようだね 　「ζ110=-ζ55」とは？ なんだかね。 微笑ましいねｗｗｗ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0_(%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96) 指数 (初等整数論) 定義 n を法とする原始根とは、n を法とする既約剰余類全体が乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元のことである。 原始根が存在するのは n が 2, 4, p^k, 2p^k (p は奇素数 kは自然数) の場合に限られる。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/749

750: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/14(土) 23:21:41.66 ID:p/slNf5Z >>749 つづき https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_root_modulo_n Primitive root modulo n Definition If n is a positive integer, the integers from 0 to n - 1 that are coprime to n (or equivalently, the congruence classes coprime to n) form a group, with multiplication modulo n as the operation; it is denoted by Z^×n, and is called the group of units modulo n, or the group of primitive classes modulo n. As explained in the article multiplicative group of integers modulo n, this multiplicative group (Z^×n) is cyclic if and only if n is equal to 2, 4, p^k, or 2p^k where p^k is a power of an odd prime number.[2][3][4] When (and only when) this group Z^×n is cyclic, a generator of this cyclic group is called a primitive root modulo n[5] (or in fuller language primitive root of unity modulo n, emphasizing its role as a fundamental solution of the roots of unity polynomial equations X^m - 1 in the ring Zn), or simply a primitive element of Z^×n. When Z^×n is non-cyclic, such primitive elements mod n do not exist. Instead, each prime component of n has its own sub-primitive roots (see 15 in the examples below). (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/750

753: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf [sage] 2023/01/15(日) 07:12:05.45 ID:KCopoF1R >>749 >代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する それ、乗法群(Z/nZ)×　と　加法群(Z/nZ)　の違い >一つは、”n を法とする原始根”で、”乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元” >こちらは、”原始根が存在するのは n が 2, 4, p^k, 2p^k (p は奇素数 kは自然数) の場合に限られる” 　上記がベキ乗()^aで巡回する場合の(指数の)乗法群の生成元a（指数は×a) 　たとえばmod 5のときの　 　1→2→4→3→1　の2 　1→3→4→2→1　の3 >もう一つは、 ”1の原始冪根”に関して、 >”1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、 >n乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという” 　上記は、x^a*()で巡回する場合の(指数の)加法群の生成元x^a（指数は+a) 　この場合、どのnでも生成元は存在する 　0→1→2→…→n-1→0 　ただし、x^aが生成元となるには、aがnと互いに素であるのが必要十分 　例えば、n=6の場合は、x^1,x^5が生成元 　n=55の場合は、aが5の倍数もしくは11の倍数以外なら、生成元 　したがって28ならOK 　1はいまだに(Z/nZ)×と(Z/nZ)が群として異なることが分かってないみたい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/753

755: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf [sage] 2023/01/15(日) 07:28:40.01 ID:KCopoF1R >>749 >「ζ110=-ζ55」とは？ なんだかね。 微笑ましいねｗｗｗ 　その発言が、嘆かわしいね 　上記の場合、加法群（Z/110Z）および（Z/55Z）でしか考えていない （ここでいう加法は指数における加法 　巡回の操作が「原始根を掛ける」から乗法群 　とかいうのは初歩的誤解） 　nが奇数の場合、 　1のn乗根ζn^m(m=0~n-1)の、どれをとっても 　ζn^l=-ζn^m　となるl,mは存在しない 　で、ζ110,ζ55を、1の原始110乗根、原始55乗根（１つとは限らない）とするなら、 　ζ110=-ζ55　となるようにとれるというのは、数学として正しい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/755

776: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/15(日) 16:07:21.43 ID:fdSQKtbP >>771 >>そもそも「ζ110=-ζ55」がアホ >その発言がダラズ　原始根が分かってなかった証拠 はいはい 代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する>>749 あんたは ”n を法とする原始根”で、”乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元” を想定してたんだ>>749 でも、”1の原始冪根”の議論のときは ζ110=cos(2π/110)+i sin(2π/110) ζ55=cos(2π/55)+i sin(2π/55) が普通（デフォルト）だってことだよ>>756 覚えておいてね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/776

845: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/17(火) 07:47:33.04 ID:6qoiGrEF >>841 >＞原始根の確認どうした？ >　加法群（Z/nZ）と乗法群（Z/nZ）×の区別もできん馬鹿　イキるｗ それおまえ（>>749より）のことよ 　例えば、あんたの発言 >>697より 「ζ110を1の原始110乗根とするならそれでOKだが、1は 　ζ110=cos(2π/110)+sin(2π/110)i　 　だと勝手に思い込んでるに違いないから、その場合は 　ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-1*ζ110 　と馬鹿丁寧に書かんと分からんだろうな」 ζ110=cos(2π/110)+i sin(2π/110) これが、1の原始110乗根で何が悪いの？ｗｗｗｗｗ しかも、「ζ110(=-(ζ55^28)=-(ζ110^56))=-1*ζ110」 ってさ ζ110=-1*ζ110 なら、ζ110=0ですよｗｗｗ（>>751より） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/845

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