[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/

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745: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/14(土) 19:27:37.98 ID:p/slNf5Z >>744 つづき (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/1%E3%81%AE%E5%86%AA%E6%A0%B9 1の冪根 1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、n乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという。 全ての自然数 n に対する 1 の原始n乗根を総称し、1 の原始冪根（いちのげんしべきこん）、または1 の原始累乗根（いちのげんしるいじょうこん）という。 1の原始冪根 複素数の範囲では、1 の原始n乗根は n >= 3 のとき2つ以上存在する。ド・モアブルの定理より、 ζn =cos 2π/n +isin 2π/n は 1 の原始n乗根の一つであることが分かる。 この時、ζn の共役複素数 ζn も 1 の原始n乗根である。 n と互いに素な自然数 m に対して ξn^m は 1 の原始n乗根であり、逆に 1 の原始n乗根はこの形に表せる。 すなわち、1 の原始n乗根は、オイラーのφ関数を用いて、φ(n) 個だけ存在する。 方程式 x^n = 1 を考える。この方程式の解は、ド・モアブルの定理より、 ζn =cos 2πk/n +isin 2πk/n (k=1,2,・・,n) であるが、1 の原始n乗根 ξn を一つ選べば、 x=ξn^k (k=1,2,・・,n) と書くことができる。 https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_field Cyclotomic field In number theory, a cyclotomic field is a number field obtained by adjoining a complex root of unity to Q, the field of rational numbers. Definition For n >= 1, let ζn = e^2πi/n ∈ C; this is a primitive nth root of unity. Then the nth cyclotomic field is the extension Q(ζn) of Q generated by ζn. Small examples n = 3 and n = 6: The equations ζ3={-1+√-3}/2 and ζ6={1+{√-3}/2 show that Q(ζ3) = Q(ζ6) = Q(√?3), which is a quadratic extension of Q. Correspondingly, a regular 3-gon and a regular 6-gon are constructible. https://univ-juken.com/tagaini-so 受験辞典 互いに素とは？意味や証明問題を簡単にわかりやすく解説！ 2022年4月14日 互いに素とは、2 つの整数の最大公約数が 1 であることです。 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/745

749: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/14(土) 23:21:13.95 ID:p/slNf5Z >>712 再録 >>ζ110=-ζ55 なんですがｗｗ >ζ110を1の原始110乗根とするならそれでOKだが、1は >ζ110=cos(2π/110)+sin(2π/110)i　 >だと勝手に思い込んでるに違いないから、その場合は (引用終り) １）代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する ２）一つは、下記の”n を法とする原始根”で、”乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元” 　こちらは、”原始根が存在するのは n が 2, 4, p^k, 2p^k (p は奇素数 kは自然数) の場合に限られる” 　（石井本「ガロア理論の頂を踏む」の第1章 9,10節の「原始根」は こちら） ３）もう一つは、先の>>745のように ”1の原始冪根”に関して、”1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、n乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという” 　こちらは、”ζn =cos 2π/n +isin 2π/n は 1 の原始n乗根の一つである” 　この場合、普通に ζn =cos 2π/n +isin 2π/n を原始n乗根として採用する ４）この二つを混同する人がいるようだね 　「ζ110=-ζ55」とは？ なんだかね。 微笑ましいねｗｗｗ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0_(%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96) 指数 (初等整数論) 定義 n を法とする原始根とは、n を法とする既約剰余類全体が乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元のことである。 原始根が存在するのは n が 2, 4, p^k, 2p^k (p は奇素数 kは自然数) の場合に限られる。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/749

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