[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/

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739: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf [sage] 2023/01/14(土) 16:42:17.05 ID:AEfDxZC9 >>738 ＞数学的には決して難しい議論ではないはず ＞（体論の初歩程度）ですが 　アハハハハ💦 　・・・すみません、以前も質問したかもしれませんが ＞Q(cos(mπ/n))⊂Q(sin(mπ/n)), （nが奇数のとき） 　は倍角の公式を使えばいいとわかったんですが ＞Q(cos(mπ/n))⊃Q(sin(mπ/n)), （nが4で割れない偶数のとき） 　がどうもわかりませんでした 　n→2nのときには、左辺と右辺に変化ありましたっけ？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/739

740: １３２人目の素数さん [sage] 2023/01/14(土) 17:15:28.59 ID:pTLy1rYf >>739 m/n+1/2=(2m+n)/2n でsinとcosが入れ替わるということから分かります。 >Q(cos(mπ/n))⊂Q(sin(mπ/n)) を証明するのはやや難しく、倍角では行けないと思う。 大げさに言えば「ガロア群の計算」が必要。 Q(cos(mπ/n))=Kとおくと Q(exp(mπi/n))=K(i*sin(mπ/n))で、これはKの虚2次拡大。 2が素数であることから中間体が存在しない、従って i∈Q(exp(mπi/n))とsin(mπ/n)∈K が同値になる。 nが奇数のとき、i\not∈Q(exp(mπi/n)) は円分体の知識があれば分かるが、その証明は 正確には円分多項式の既約性のようなことに帰する。 これはわたしが悪いのですが、前のときは わたしは最後まで証明を書きませんでした。 貴方様は問題を出された場合、最後まで解答は書かれますね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/740

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