純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

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715: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf  [] 2023/01/14(土) 06:14:16.85 ID:AEfDxZC9

>>712
>「ζ110=-ζ55」だってね
>これ間違いだと、気付きましたかね？
　
おやおや、1クンは、1の原始n乗根の定義、知らないんだね

1の冪根
https://ja.wikipedia.org/wiki/1%E3%81%AE%E5%86%AA%E6%A0%B9
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、
n乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという。
全ての自然数 n に対する 1 の原始n乗根を総称し、
1 の原始冪根（いちのげんしべきこん）、
または1 の原始累乗根（いちのげんしるいじょうこん）という。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

上記を読めばわかるとおり、1の原始n乗根は、1つとは限らない

>(ζ110=cos(2π/110)+sin(2π/110)i　として)
>「ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-1*ζ110」だって？
>これ、恥の上塗りですよね？

いや　高校2年でも、正しいと分かるよｗ
ζ55=cos(2π/55)+sin(2π/55)i　として
　ζ55^28
＝(cos(2π/55)+sin(2π/55)i)^28
=cos(2π*28/55)+sin(2π*28/55)i
=cos(2π*56/110)+sin(2π*56/110)i
=cos(2π*(55+1)/110)+sin(2π*(55+1)/110)i
=(cos(2π*55/110)+sin(2π*55/110)i)*(cos(2π/110)+sin(2π/110)i)
=(cos(2π*1/2)+sin(2π*1/2)i)*(cos(2π/110)+sin(2π/110)i)
=(cos(π)+sin(π)i)*(cos(2π/110)+sin(2π/110)i)
=(-1)*(cos(2π/110)+sin(2π/110)i)
=-(cos(2π/110)+sin(2π/110)i)
=-ζ110
ですが?
何か質問はあるかい？
（つづく）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/715

756: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/15(日) 10:47:26.10 ID:fdSQKtbP

>>753
>>代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する
>それ、乗法群(Z/nZ)×　と　加法群(Z/nZ)　の違い

違うよ
原始根の一つは、乗法群(Z/nZ)×関連で
石井本「ガロア理論の頂を踏む」の第1章 9,10節の「原始根」にあるけど
さらに、11節「既約剰余類群を解剖する-(Z/pZ)×の構造」につながって
11節の最後に”この定理は最後のピークの定理を証明するときに大活躍します”とある
つまり、ガロア理論の群論側で活躍するのだが、円分体でも活躍するってことだね
（石井本では、第4章 3～6節、第6章 1、6節）

もう一つは、体の拡大K/k（下記）を考えると
K の元 αを一つ添加すると、k(α)に、α,α^2,α^3・・,α^n,・・が含まれることになる
αが、超越数のとき、上記は無限に続いてすべて代数的独立だね

一方、αが代数的数で、k 係数多項式 f(X) でｎ次式の根とする
α^(n+1)は、ｎ次以下に落とせる
つまり、トリビアだけど
f(X) ＝anx^n+an-1x^(n-1)+・・a0として
anx^n＝-{an-1x^(n-1)+・・a0}+f(X)
x=αを代入して
anα^n＝-{an-1α^(n-1)+・・a0} （f(α)＝0だから）
α^(n+1)＝-{α(an-1α^(n-1)+・・a0}/an
となるよね

だから、体の拡大では、α,α^2,α^3・・,α^n,・・とあるときには
まずk(α)を考えろというのが、普通だろ？
勿論、円分体のように特殊な場合は、α^2とかα^3とかが原始根になっているときもあるだろうが
一般的には、α^2とかα^3とかは、原始根で無い可能性が高いよ

だから
　>>712より
再録
>>ζ110=-ζ55 なんですがｗｗ
>ζ110を1の原始110乗根とするならそれでOKだが、1は
>ζ110=cos(2π/110)+sin(2π/110)i　
>だと勝手に思い込んでるに違いないから、その場合は
(引用終り)

って、”あんた、体の拡大分かってんの？”って話ですｗ
ζ110=cos(2π/110)+i sin(2π/110)
ζ55=cos(2π/55)+i sin(2π/55)
を、考えるべし
だから、「ζ110=-ζ55」ってｗ

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/756

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