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純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/
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6: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 [sage] 2022/12/20(火) 07:00:00.76 ID:UspPL0zv 1こと現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP の残念発言 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/570 Q2 「５乗根の添加」によってつくられた解を添加した、元の方程式の最小分解体の中に、 ５乗根そのものは要素として含まれる？ A2 簡単に基礎体を有理数Qとする また、元の方程式を、既約で可解な5次方程式とする 5つの根を (a1,a2,a3,a4,a5)とする ガロア第一論文の最後の定理から 位数5の巡回置換 (a1,a2,a3,a4,a5)が存在し、 従って位数5の巡回群が方程式の群に含まれる ここから、ある補助式から出るaがあって、 a^(1/5)を含んだ式が出てくる（a^(1/5)は、上記同様無理数） つまり、 (a1,a2,a3,a4,a5)たちは、 a^(1/5)含んだ代数式（加減乗除とべき根）で表される 例えば、この式を ai＝f(a^(1/5)) とでもしましょう (ここに、iは1〜5のどれか) 最小分解体は、体だから加減乗除の逆演算が可能で、 かつ任意の指数nのべき根についても、逆演算のn乗でべき根は外せる だから、式f(a^(1/5)) に上記の逆演算を施すことで、 f(a^(1/5))→a^(1/5)を最小分解体内に得ることは可能 つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、 方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/6
7: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 [sage] 2022/12/20(火) 07:04:01.96 ID:UspPL0zv >>6 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP の残念発言に対する指摘 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/575 あなたの発言を額面通りに受け取ると以下がいえる 「いかなる体も加減乗除の逆演算が可能で、 かつ任意の指数nのべき根についても、 逆演算のn乗でべき根は外せる だから、体Q上の式f(x) に上記の逆演算を施すことで、 f(x)→xを体Q内に得ることは可能」 つまり、Q上の方程式の根がQ上に存在するといえることになる！ ・・・しかし、明らかに誤りですね だってx^2=2も、x^2=-1も、その根はQじゃないですから ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/577 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー もし 「体Ｆ上の式f(x) に上記の逆演算を施すことで、 f(x)→xを体F内に得ることは可能」 だったら、 ・ピタゴラスは発狂して弟子を殺すことはなかった （無理数なんて出てこないから） ・虚数なんて必要なくなった （実数上の多項式は必ず実根を持つから） ・ガウスが代数学の基本定理を証明する必要もなかった （だって自明な命題になっちゃいますから） ってことになります 数学史が劇的に塗り替えられますよ！ ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/7
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