純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

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595: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/09(月) 09:34:55.74 ID:xY+wMPX4

>>594

ありがと
まず、文書の日付と著者、出所を
https://joelshapiro.org/
Joel H. Shapiro
Fariborz Maseeh Department
of Mathematics & Statistics,
Portland State University
https://joelshapiro.org/Seminar/seminar_2018-19.html
Spring Term Schedule 2019
Friday, January 18 in East Hall Room 236: 2PM?3 PM
Jim Rulla will speak on: Cubics, quartics, and the DFT
Abstract. The Discrete Fourier Transform (DFT), an important tool in science and engineering, turns out to be useful in algebra, too. In this talk, we’ll use the DFT to find the roots of polynomials of degrees 3 and 4 (cubics and quartics). Lagrange’s opinion was that the cubic requires particular artifices that do not present themselves naturally.
However no such “artifices” are required if we use the DFT. The technique is remarkably simple and easy to remember.
Notes for Jim’s talks on DFT and solutions by radicals are here.
https://joelshapiro.org/Pubvit/Downloads/Rulla_dftradicals.pdf
Solution by Radicals and the DFT January 11, 2019 Jim Rulla

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/595

596: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/09(月) 09:36:09.43 ID:xY+wMPX4

>>595
つづき

さて、数学的分析
1）題は、”Solution by Radicals and the DFT”であって、DFTでもってすべてのべき根が解けるということではないよね
2）実際、扱われているのは、代数方程式で2次、3次、4次止まり
3）そして、P4の3次式ですでに
”b = - (r1 + r2 + r3) (C4)
　c = r1r2 + r1r3 + r2r3
　d = -r1r2r3.
　Three equations and three unknowns looks good, but trying to solve Equation (C4) for the rj is disheartening.
　Don’t let me discourage you from trying, but do let me know if you make progress! ”
　などとある。つまり、この後にある技巧を必要とするってことね。
4）さらに、P9 4次式で
”Remark: This “trick” avoids taking the 4-dimensional DFT. In a sense, the trick amounts to using the
　4-dimensional fast Fourier Transform (FFT). One can also solve the quartic using the Lagrange resolvents.
　See Edwards6.”
　つまり、DFTでなく、“trick”を使ったという
　実際P8の式B4で、”The DFT of the roots is”とあるけど
”The top row, as always, is symmetric in the roots, and is ?b. The second and fourth rows are similar ?
　they both qualify as Lagrange resolvents ? but the third row is different. There are 4! = 24 permutations
　of the roots rj ”
　として、結局
” Since we have a cubic formula, we can find the three t2k, and since we can take square roots, we can find all six of the ti.
　This suffices to solve the quartic since”
　“trick”で、ジャンプしていますよね
5）この文書から読めることは、DFTは部分的には役に立つけど、あくまで部分的で、DFTですべて解決するわけではない
　かつ、4次式止まり

これで良いですか

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/596

626: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/09(月) 20:12:42.24 ID:xY+wMPX4

>>595 追加
>https://joelshapiro.org/Pubvit/Downloads/Rulla_dftradicals.pdf
>Solution by Radicals and the DFT January 11, 2019 Jim Rulla

（DFTとLagrange resolventとの関係）
これのP8より
The DFT of the roots is
＜下記は行列です。原文ご参照！＞
[1  1　1 1](r1)＝(r1 + r2 + r3 + r4) ・・・・・(B4)
[1 -i -1 i](r2)　(r1 - r2i - r3 + r4i)
[1 -1 1-1](r3)　(r1 - r2 + r3 - r4)
[1 i -1 -i](r4)　(r1 + r2i - r3 - r4i)
The top row, as always, is symmetric in the roots, and is - b.
The second and fourth rows are similar ? they both qualify as Lagrange resolvents ? but the third row is different.
(引用終り)

（コメント）
・ここで、トップの1行目は、単純な根の和で、-bです
・2行目と4行目は、Lagrange resolvent
・3行目は、Lagrange resolventではない！
・つまり、上記のDFTの行列は、Lagrange resolvent そのものではない！！
（Lagrange resolventの拡張と言えるかもね）

なお、Lagrange resolvent で、4次方程式が解けることは
P9 の冒頭 Remark で
”One can also solve the quartic using the Lagrange resolvents.See Edwards6.”
と記されている。（Edwards 6でなくても、他にもありと思うけど）
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/626

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