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純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/
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372: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/03(火) 14:14:45.52 ID:aZhrx//w >>367-368 ありがとうございます/ >どこにも書いてないことを書けているから >論文になるのでは？ >数学は冷たくて面白くないという人が多いが、そもそも数学が生まれたときは、人間の感情・感覚が濃い影をおとし、カンや経験が入り混じっていた 昔の本で、「糸川英夫の入試突破作戦」があって（下記） これ、いまの一つの潮流の”数学 暗記”の源流だと思うのだが 糸川英夫先生のいうのは、早く科学（数学に限らず）の最前線で 知恵を絞って考えるべしだと 将棋で言えば、過去の棋譜調べで終わっていては、 一流になれないってことでしょう 論文にいくつかパターンがあるけど ・一番多いのは、最前線で一歩なり半歩前進もの（糸川英夫先生は、最前線でないところで、いくら何歩も前進しても、科学を進歩させていないぞと） ・あと、最前線で他分野の手法を導入するもの ・全く新しい分野が出てきたとき、自分もその分野に入っていく ・数学の応用もある。まだ未解明の分野（例えば物理とか）で、数学を適用して解明していくもの 下記、フォン・ノイマン環 河東泰之 （コンヌ、小沢登高）は、その例でしょう かな 過去のお勉強から脱却して、早く沢山ある未解決分野に取り組めというのが、糸川先生の真意だった 精神科医の和田先生の真意は知らない（話は聞くが、本は読んでない） つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/372
13: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/22(木) 20:45:29.85 ID:Oc9CAOS3 戻る 前スレより https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/381 >>370-372 ”可解な既約5次方程式の代数解法には 必ず5乗根が必要なことを示せ。” ね いまの5chの他のスレでは、回答がない可能性大だ よって 簡単に、ここに書けば １）ガロア第一論文の最後にあるように、 既約5次方程式で可解な場合には、方程式の群は位数20の線形群になる （アルティン第3章3節、Coxガロア理論下、彌永 ガロア本 第二部などご参照） ２）既約5次方程式で、重根を持たないとする（これ重要） 根 a1,a2,a3,a4,a5 の５つは、相異なるので、 巡回置換 (a1,a2,a3,a4,a5)が存在し、従って位数5の巡回群が方程式の群に含まれる ３）ガロア第一論文の最後にあるように、方程式の群の可解列で、最後{e}(下記では{1}) の一つ前が、位数5の巡回群になる。これに対応するのが、5乗根の添加で 例えば x^5=aで ここから、1の5乗根が出る これで、上記への回答はほぼ終わりだ ４）さて、追加で下記三次方程式における還元不能問題がある （還元不能問題とは、下記のあるように全部実根でも、途中で虚数を必要とすることをいう） ５）5次方程式を含む一般の方程式の還元不能問題については Coxガロア理論下 第III部 第8章 8.6節に詳しい ６）例えば、 命題8.6.4： M⊂Lはガロア拡大で、L⊂Rをみたし、 ある奇素数pに対して[L:M]=pをみたすと仮定する。 このときLはMの実べき根拡大の中に入り得ない 証明(略)（Coxを見よ） この命題は、不還元の場合の解析において鍵となる道具であると書かれている ７）上記の「必ず5乗根が必要」については、これで分かる なお、詳しく書き出せば切りが無い（実はめんどくさい）ので、この程度で終わる ８）質問があれば、してくれ。答えられる範囲で回答する ９）なお貧乏人のサルは、本を持ってないだろうから、図書館で借りてよめ！ｗ （また現役大学生なら、大学の図書館で読めるだろう） つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/13
21: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/22(木) 23:54:59.26 ID:Oc9CAOS3 >>17 誤変換訂正 7節 「x^n-a=0の作る拡大隊」クンマー拡大 が、参考になるだろう ↓ 7節 「x^n-a=0の作る拡大体」クンマー拡大 が、参考になるだろう さて 前スレより https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/417 種を明かすと>>372の方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 の左辺は Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)). 方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。 その解法にはζ_5が必要だが 最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。 (引用終り) ここを、上記>>17の石井本に即して補足する １）クンマー拡大＆クンマー理論から、 5次の巡回群→5乗根a^(1/5)によるクンマー拡大Q(a^(1/5),ζ) の存在が分かる （ζは1の5乗根） ２）これから、 問題の5次方程式のべき根表示が得られる ３）問題の5次方程式は、すべて実根だから、 最小分解体Q（α1,α2,α3,α4,α5）⊂R で、実数R中なので、ζ（複素数）は含まない また、5乗根a^(1/5)も含まない（前スレでの議論） ４）すべて実根だが、べき根解法には 複素数を含むクンマー拡大Q(a^(1/5),ζ)が必須であることは 還元不能問題として有名（>>13の通り） ５）5次の既約な多項式からなる方程式が、可解になるのは そのガロア群が、位数20の線形群になるとき（あるいはその部分群のとき） 具体的には、位数20のF20フロベニウス群、位数10の二面体群D5、位数5の巡回群Z5（前スレに書いた通り） ６）このいずれの場合も、ガロア群の位数に5を因子として含むことから クンマー拡大Q(a^(1/5),ζ)が必須で、べき根表示には、あるaの5乗根が必ず使われる （aは、上記クンマー拡大を適用する直前の拡大体に含まれる数） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/21
43: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/24(土) 09:35:32.52 ID:WMwnzEw8 >>41 ありがとね （再録） >要するに、あるaが存在して、クンマー拡大 Q(a^1/5,ζ5)で >β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)と出来るかってこと >（a∈Q(ζ5)） aは一つじゃないけど つまり、η、η^2、η^4、η^3 の巡回ρによって生成される ρ(a)、ρ^2(a)、ρ^3(a) の 5乗根も追加される それも 石井本の9 ピークの定理に立とうの定理6.9(p481-486)に書いてある 証明全部読みなよ 全部書いてあるから (引用終り) １）いまの場合は、>>21より https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/417 種を明かすと>>372の方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 の左辺は Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)). 方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。 その解法にはζ_5が必要だが 最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。 (引用終り) とあるよね ２）だから、本質は”aは一つ”なんだよ 見かけ上複数に見えても、aは本質は1つ（複数の選択肢があるかも知れないが、どれか一つだけで済むはず） そうでないと、方程式のガロア群が5次の巡回群Z_5にならないから ３）”石井本の9 ピークの定理に立とうの定理6.9(p481-486)”は、 もっと一般の方程式論の場合だよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/43
255: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/01(日) 11:58:10.18 ID:x1AjdVpC >>251 >すべてのχ∈A^についての(χ,θ)から >（今で言うフーリエ逆変換を取れば）アーベル方程式の根θの >べき根表示が一挙に得られるという話。 ありがと では 前スレより https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/417 種を明かすと>>372の方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 の左辺は Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)). 方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。 その解法にはζ_5が必要だが 最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。 (引用終り) これに、あんたの理論を適用して 具体的に、フーリエ逆変換やって ”べき根表示が一挙に得られる” を、どぞｗ 実演頼むわｗｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/255
264: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/01(日) 15:18:01.47 ID:x1AjdVpC >>261 ありがと では 前スレより https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/417 種を明かすと>>372の方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 の左辺は Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)). 方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。 その解法にはζ_5が必要だが 最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。 (引用終り) これに、あんたの理論を適用して 具体的に、フーリエ逆変換やって ”べき根表示が一挙に得られる” を、どぞｗ 実演頼むわｗｗ ゴタクは、いいからやってｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/264
278: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/01(日) 20:15:26.21 ID:x1AjdVpC >>275 ありがと では 前スレより https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/417 種を明かすと>>372の方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 の左辺は Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)). 方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。 その解法にはζ_5が必要だが 最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。 (引用終り) これに、あんたの理論を適用して 具体的に、フーリエ逆変換やって ”べき根表示が一挙に得られる” を、どぞｗ 実演頼むわｗｗ ゴタクは、いいからやってｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/278
306: １３２人目の素数さん [sage] 2023/01/02(月) 12:00:56.86 ID:YGVCEmlg 前スレ450の「証明」が、コピペに頼らない1=雑談氏の裸の実力 ゲーデルなんて自分の実力で説明できるわけないｗｗ ↓ 450１３２人目の素数さん2022/12/07(水) 14:57:31.11ID:Y16SQtqq >>431 戻る (引用開始) １）>>391 「では、>>372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね？ 一般的な話として、可解な5次方程式でもいいですが。 つまり、5乗根を取る操作をガロア拡大（クンマー拡大） にするなら、ζ_5は必然的に含まれますが 最小分解体（方程式が一次式の積に分解する最小の体） には含まれるか否か？って質問です。」 (引用終り) １）いま、簡単にQ係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるものを取ったとする 根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする ２）下記 最小分解体の定義より、最小分解体は、Qに根α1,α2,α3,α4,α5を添加して Q(α1,α2,α3,α4,α5)と書ける ３）もし、ζ_5が、{α1,α2,α3,α4,α5}たちと代数的に独立(下記)ならば（そしてそれが普通だが） ζ_5 not∈Q(α1,α2,α3,α4,α5) だよね ４）特に、{α1,α2,α3,α4,α5}たちが全て実根ならば、ζ_5 not∈Q(α1,α2,α3,α4,α5) だし 仮に、{α1,α2,α3,α4,α5}に虚数根が含まれても、それら虚数根がζ_5と代数的に独立ならば ζ_5 not∈Q(α1,α2,α3,α4,α5) であり、そのような場合こそ普通だろ ５）なので、果たして彼は、 この問い「>>372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね？」 で何を問いたかったのか？ 意味が分からないｗｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/306
309: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/02(月) 13:02:35.70 ID:qZFMMNjk >>306 >ゲーデルなんて自分の実力で説明できるわけないｗｗ そりゃ、そうだろ ゲーデルが、不完全定理の証明に、果たして何年の歳月をかけたのか？ は知らず 希代の天才 ゲーデルが、何年もの歳月をかけて、心血そそいだ証明が、 私に自分の実力で説明できるわけないし 現代数学は、そういう勉強ばかりじゃ、いつまでも、数学の最前線に立てないだろう あんた、間違ったんだろう？ 現代数学の勉強法をｗ 良い意味での”カンニング”をしっかりして、前に進んでいかないとねｗ それから、後半のは証明でなく説明は正しいよ 問い”では、>>372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね？” で、>>372の方程式：x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 >>302に同じ これは、後に前スレ417で”種を明かすと>>372の方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 の左辺は Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11))” だった そして、私は前スレ431において ”２）それって、最小分解体の定義は下記だから 定義より、5実根の方程式を考えれば、最小分解体⊂R だから、ゆえに複素数のζ_5は「含まれない」が正解って話かな？ ３）例示の”x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0”は、無意味じゃね？ 5実根の一言で終わる話じゃね ４）さらに言えば、虚数根を持つ場合でも、ζ_5を含まない最小分解体の例は作れるんじゃないかな？ ５）上記の多項式の具体例のハナタカは、あんまり賢くない気がするのはおれだけかな？ｗ” としていますｗ それが、どうかしましたか？ｗｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/309
373: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/03(火) 14:15:30.67 ID:aZhrx//w >>372 つづき (参考) https://www.アマゾン 糸川英夫の入試突破作戦 (文春文庫 (325‐1)) Paperback Bunko ? December 1, 1983 書評 ドクター・アマゾン 5.0 out of 5 stars この本のおかげで、医者になれました。 Reviewed in Japan on June 1, 2006 医者になり、１０年以上経ちましたが、この本を読んだ高校一年生の頃の事をはっきりと覚えています。高校入試に失敗し、Ｋ大医学部など開校以来だれも合格した事がない一流とは言えない私立男子校に進学し、大学入試への不安と女子高生などとは全く縁のない殺伐とした日々を送っていた時にこの本に出会い、救われました。無事、Ｋ大医学部に合格し、現在は、外科医として仕事をしています。 糸川先生の勉強法が、現在の入試状況に当てはまるかどうか、わかりませんが、予備校の先生方や、いま流行の精神科医の和田先生が書かれている入試勉強法に比べて、かなり異色のものであると思います。 私にとっては、人生を変えた一冊です。 https://www.s.u-tokyo.ac.jp/ja/story/newsletter/keywords/list11_20.html 理学のキーワード 第14回 https://www.s.u-tokyo.ac.jp/ja/story/newsletter/keywords/14/01.html フォン・ノイマン環 河東泰之（数理科学研究科） フォン・ノイマンの名前を聞いたことがない人はいないであろう。コンピュータのフォン・ノイマン・アーキテクチャーや，ゲーム理論の創始，著書「量子力学の数学的基礎」，原爆開発への参加など， フォン・ノイマンは，純粋に数学的な理由と，量子力学からの要請の両方に基づき，この理論を創始した。 現在は非可換幾何で有名なA. コンヌ（Alain Connes）のフィールズ賞の対象となった業績は，この種の分類理論であるが，最近，S. ポパ（Sorin Popa） の革命的な一連の業績により，さらに進展がもたらされた。本研究科の小沢登高准教授はこの進展の中心的な研究者の一人であり，これからの発展が一段と期待されている (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/373
377: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf [] 2023/01/03(火) 15:11:29.14 ID:b5Fu+qY0 >>371 > e^-2πixt/N で終わるならば、 > いま問題としている方程式 x^11-1＝0の根も > x=e^2πix/11 で終わる >>Nooooooooooooooo!!! >>なんでe^2πix/11 使うの！ >>使うのは、e^2πix/5 ですよ！ > はいはい ゴタクは聞き飽きたよ いやいや、御託でもなんでもなく教育的指導ですよ e^2πix/11 を e^2πix/5で表す これがそもそもの問題意識 そこから分かってないんじゃ、いったい何をどう分かろうとしたわけ？ ま、小一時間問い詰めても、💩しか出ないからやらないけどｗ >>372 >昔の本で、「糸川英夫の入試突破作戦」があって 糸川英夫？知らんわ？ ロケット？数学と関係ないなぁ >これ、いまの一つの潮流の”数学 暗記”の源流だと思うのだが じゃ、アカン奴やね >糸川英夫先生のいうのは、 >早く科学（数学に限らず）の最前線で >知恵を絞って考えるべしだと だから、最前線って何？ >将棋で言えば、 >過去の棋譜調べで終わっていては、 >一流になれないってことでしょう 棋譜も調べないヤツはそもそも将棋好きじゃないでしょｗ 将棋好きでもないのに将棋指し？ 音楽好きじゃないのにミュージシャン？ サッカー好きじゃないのにサッカー選手？ 数学好きじゃないのに数学者？ ありえんわ、ぜったいありえんｗ 草バンドだろうが草サッカーだろうが草数楽だろうが そんなんぜんぜんOKなんだけど CD買いまくるとかサッカーグッズ買いまくるとか数学書買いまくるとか そんなこといくらやってもそのことに意味はないわな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/377
381: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf [sage] 2023/01/03(火) 15:33:53.85 ID:b5Fu+qY0 >>372 >最前線でないところで、いくら何歩も前進しても、科学を進歩させていないぞと 進歩、必要ですか？（マジ） なんか、なんで数学やるのか動機がおかしくない？ 進歩するためなの？ 進歩しないと無意味なの？ 数学者になるためなの？ 数学者になれないと無意味なの？ 業績をあげるためなの？ 業績あげないと無意味なの？ んなことないでしょｗ 楽しいから数学するんでしょ 楽しくないなら数学しなくていいよ だれもあなたに数学してくれなんて強制してない 別に音楽もスポーツも強制されてするもんじゃないでしょ 数学もそれと同じ したくなければしなくていい だから世の中の人の大半は 数学してないんじゃないかな （大半がどの程度か、正確に評価したことないけど ヘタすると９０％超えそうな悪寒ｗ） だからさぁ、数学好きでもないのに 「自分は数学ができないといけないんだ！」 みたいなおかしな強迫観念で検索＆コピペを繰り返してるんならやめなよ 「自分は誰よりも数学ができると見せつけなければいけないんだ！」 みたいなおかしな強迫観念で箱入り無数目スレやこのスレで 初歩的な誤りに基づく発言を延々と繰り返しつづけるならやめなよ 惨めだから 1こと雑談君がさ ウザいからじゃないよ 惨めなの ただただ 君が もう、みんな、君がどんな動機でこの板に書き続けてるかうすうす分かってる 高校までは数学できたんでしょ？ でも大学でいきなり数学できなくなって挫折したんでしょ？ それが今までずーっとトラウマになってるんでしょ？ それを跳ね返したくて、検索＆コピペで虚勢張ってるんでしょ？ 気持ちはわかるけど、そんなことやって意味あった？ なかったでしょ？ 結局分かってないことバレたでしょ？ なんで大学で数学ができなくなったのか？ その原因を君が気づかない限り、同じ失敗を延々と繰り返すよ 文章を論理的に読んでないでしょ？定義も定理も証明も だって失敗するところが必ずそこだもの 最初からつまづいてんのよ それじゃ数学書は読めないよ 論理を一から学ばないと http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/381
436: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/06(金) 20:52:00.28 ID:9sWh0IFW >>435 (引用開始) この本知ってる？ フーリエ解析の序章 https://www.sugakushobo.co.jp/903342_49_mae.html 杉山健一 著 A5判・並製・176頁・定価2300円+税 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 理論・応用を問わず様々な分野で有用であるFourier解析学の入門書. 理論だけではFourier変換の威力が実感されないので， 整数論, 幾何学, 解析学, 物理学, 工学などへの諸分野への応用も解説した． まえがき Fourier解析は，理論・応用を問わず様々な分野で有用である． 本書ではそ の入門として次の場合のFourier変換を解説する． （1）有限巡回群上定義された関数のFourier変換． （2）周期関数のFourier変換． （3）急減少関数のFourier変換． （4）超関数のFourier変換． 一見するとこれらの話題は独立であるように思われるが，実は一般化により （1）→（2）→（3）→（4） という関係があり，その過程でFourier変換の思想は一貫している． (略) (引用終り) おお！ 良い本あるじゃん！ｗ じゃ、早速これ 前スレより https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/417 種を明かすと>>372の方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 の左辺は Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)). 方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。 その解法にはζ_5が必要だが 最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。 (引用終り) に適用してくれや！ｗ １）できれば、x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0から出発して、べき根表示頼むわ ２）あるいは、Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11))からでも良いけどね。但し、根”1/cos(2kπ/11)”への直接のフーリエ変換からべき根表示を頼むよ （cos(2kπ/11)を出発点として、逆数取るのは不可なｗ） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/436
573: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/08(日) 20:22:20.04 ID:9zXu/9tz >>568 >>「代数方程式の解法に、フーリエ解析！」という人に >>”おいおい、大丈夫か？ 気は確かか？”と確認するだけの注意力 >（特に、フーリエ解析の常識あれば、”なんかヘン”と思うべし） > 根拠もなく「なんかヘン」とか > 「おいおい、大丈夫か？ 気は確かか？」とか > ほざく人は大体失敗します よく会社に営業の電話が掛かってくる ・曰く「儲かる話があります」 ・曰く「電話代が安くなります」 ・曰く「ネットのセキュリティを無料診断しています」 などなど そんなの いちいち相手にしない 「代数方程式の解法に、フーリエ解析！」 に同じ そうじゃないというならば、 >>436より https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/417 種を明かすと>>372の方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 の左辺は Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)). 方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。 その解法にはζ_5が必要だが 最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。 (引用終り) に適用してくれや！ｗ １）できれば、x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0から出発して、べき根表示頼むわ ２）あるいは、Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11))からでも良いけどね。但し、根”1/cos(2kπ/11)”への直接のフーリエ変換からべき根表示を頼むよ （cos(2kπ/11)を出発点として、逆数取るのは不可なｗ） (引用開始) よろしくねｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/573
773: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/15(日) 15:53:06.17 ID:fdSQKtbP >>436 前スレより https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/417 種を明かすと>>372の方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 の左辺は Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)). 方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。 その解法にはζ_5が必要だが 最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。 (引用終り) 戻るよ 纏めると １）上記の方程式の根をα1,α2,α3,α4,α5 として 最小分解体 Q(α1,α2,α3,α4,α5)だが、上記よりQ(cos(2kπ/11))に等しい また、1の11乗根ζ11＝cos(2π/11)+i sin(2π/11)として Q(α1,α2,α3,α4,α5)＝Q(cos(2π/11))=Q(ζ11 + 1/ζ11)⊂ Q(ζ11)⊂Q(ζ44) ２）ベキ根表示には、ζ_5が必要で Q(ζ11)⊂Q(ζ_5,ζ11)⊂Q(ζ55) (多分 Q(ζ_5,ζ11)＝Q(ζ55) >>736のCyclotomic fields Proposition 2より ) ３）Q(ζ55)には、虚数単位iは含まれない>>761 因子4を含むQ(ζ220)には、虚数単位iは含まれる だから、実数のsin(2π/11)のベキ根表示は、Q(ζ220)には含まれるが、Q(ζ55)には含まれない なお虚数で i sin(2π/11)∈Q(ζ55)は 成り立つ>>761 これ なかなか面白い問題だったね （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E8%A7%A3%E4%BD%93 与えられた多項式の分解体（ぶんかいたい、英: splitting field）とは、その多項式を一次式の積に因数分解 (splitting) できるような係数体の拡大体を言う。特にそのような拡大体のうち拡大次数（英語版）が最小となる最小分解体 (smallest splitting field) は多項式に対して同型を除いて一意に定まるため、最小分解体のことを指して単に分解体と呼ぶことも多い。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/773
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