純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

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13: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2022/12/22(木) 20:45:29.85 ID:Oc9CAOS3

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前スレより
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/381
>>370-372

”可解な既約5次方程式の代数解法には
　必ず5乗根が必要なことを示せ。”
ね

いまの5chの他のスレでは、回答がない可能性大だ
よって
簡単に、ここに書けば
１）ガロア第一論文の最後にあるように、
　既約5次方程式で可解な場合には、方程式の群は位数20の線形群になる
　（アルティン第3章3節、Coxガロア理論下、彌永 ガロア本 第二部などご参照）
２）既約5次方程式で、重根を持たないとする（これ重要）
　根 a1,a2,a3,a4,a5 の５つは、相異なるので、
　巡回置換 (a1,a2,a3,a4,a5)が存在し、従って位数5の巡回群が方程式の群に含まれる
３）ガロア第一論文の最後にあるように、方程式の群の可解列で、最後{e}(下記では{1})
　の一つ前が、位数5の巡回群になる。これに対応するのが、5乗根の添加で
　例えば x^5=aで ここから、1の5乗根が出る
　これで、上記への回答はほぼ終わりだ
４）さて、追加で下記三次方程式における還元不能問題がある
　（還元不能問題とは、下記のあるように全部実根でも、途中で虚数を必要とすることをいう）
５）5次方程式を含む一般の方程式の還元不能問題については
　Coxガロア理論下 第III部 第8章 8.6節に詳しい
６）例えば、
　命題8.6.4： M⊂Lはガロア拡大で、L⊂Rをみたし、
　ある奇素数pに対して[L:M]=pをみたすと仮定する。
　このときLはMの実べき根拡大の中に入り得ない
　証明(略)（Coxを見よ）
　この命題は、不還元の場合の解析において鍵となる道具であると書かれている
７）上記の「必ず5乗根が必要」については、これで分かる
　なお、詳しく書き出せば切りが無い（実はめんどくさい）ので、この程度で終わる
８）質問があれば、してくれ。答えられる範囲で回答する
９）なお貧乏人のサルは、本を持ってないだろうから、図書館で借りてよめ！ｗ
　（また現役大学生なら、大学の図書館で読めるだろう）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/13

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