純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
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34: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2022/12/23(金) 14:38:35.07 ID:QNRnWOpa

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前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/832
より
(参考)
https://mathlog.info/articles/3161
Mathlog
子葉
1の冪根をたくさん求めてみた(解説付き)
目次
はじめに
解説
nが合成数のとき
n=3,5,7のとき
n=11のとき
n=13のとき
n=17のとき
n=19のとき
原理的なところ
おわりに
参考文献
解説
n=11のとき
cos(2π/11)＝1/10{-1+(α++)^1/5+(α-+)^1/5+(α--)^1/5+(α+-)^1/5}
(α±±＝-1/14{89+-25(5^1/5)±(410-+178√5i)^1/5}
(引用終り)
注）
・α±±＝は、前の±が右辺の式の+-に相当（原文では赤文字）、後の±が右辺の式の±に相当（原文では青文字）
　（すぐ上の式の4通り、α++、α-+、α--、α+- を表現している）
・410+178√5i ＝r(cosφ+isinφ)と極形式にすると
　410-178√5i ＝r(cosφ-isinφ)で
（410+178√5i)^1/5 ＝r'(cosφ/5+isinφ/5)
（410-178√5i)^1/5 ＝r'(cosφ/5-isinφ/5)
（r'＝r^1/5）
　となるので、虚部は+-で消えて、全体として実部のみ残ることが分かる

さて、（410+178√5i)^1/5 の部分に、1の5乗根ζの成分が、多分積の形で入っていると思われる
（クンマー拡大＆クンマー理論からね）
（手計算でやる気はしない（東大受験生クラスなら、ひょっとしてやれるかもｗ。ガウスなら喜々としてやるだろうｗ））
（いまエクセル計算で、r^2＝326520と出るので、これと5^1/5の両方に関係する数かも(添加するaは、ただ一つだから)）

なので、
cos(2π/11)＝1/10{-1+(α++)^1/5+(α-+)^1/5+(α--)^1/5+(α+-)^1/5}
(α±±＝-1/14{89+-25(5^1/5)±(410-+178√5i)^1/5}
が、位数5の巡回群によるクンマー拡大になっていることが計算でも示せて
α±±たちから、クンマー拡大Q(a^1/5,ζ)として、a∈Qなるaの値が求められそうだと

つまり、言いたかったのは、
上記のcos(2π/11)の表式から、ζ（の添加）を使って
クンマー拡大のa^1/5が、具体的に求められるだろうってことです
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/34

35: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf  [] 2022/12/23(金) 17:15:35.83 ID:vjYMqzPx

>>34
1の冪根をたくさん求めてみた(解説付き)
https://mathlog.info/articles/3161
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
n=11のとき
cos(2π/11)＝1/10{-1+(α++)^1/5+(α-+)^1/5+(α--)^1/5+(α+-)^1/5}
(α±±＝-1/14{89+-25(5^1/5)±(410-+178√5i)^1/5}
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

3行目が誤り
正しくは以下の通り
(α±±＝-11/4{89+-25√5+-5√(410-+178√5i)})

実際の計算のところを見れば、平方根だと分かる
サボって式だけ盗む泥棒は必ず間違う

＞さて、５√（410+178√5i) の部分に、
＞1の5乗根ζの成分が、多分積の形で入っていると思われる

っていうか「求め方」でラグランジュの分解式作って
「実際の計算」で計算の仕方を🐎🦌でもわかるように
説明してるじゃん　ηが1の原始５乗根な

全く読んでないの？そりゃ🐎🦌未満の🦠だな

＞言いたかったのは、上記のcos(2π/11)の表式から、
＞ζ（の添加）を使ってクンマー拡大のa^1/5が、
＞具体的に求められるだろうってこと

ていうか順番逆だろｗ
β1^5＝-11/4{89+25√5+5√(410-178√5i)}
β2^5＝-11/4{89-25√5+5√(410+178√5i)}
β3^5＝-11/4{89-25√5-5√(410+178√5i)}
β4^5＝-11/4{89+25√5-5√(410-178√5i)}
で、５乗根の中身が全部計算されてんじゃん

（注：HPでは肝心の5乗のところが抜けてる
　　　計算トレースすれば気づくけど
　　　結果だけ盗む泥棒には絶対分からん）

追加される５乗根は１つではなくβ1,β2,β3,β4の４つ
１以外の１の５乗根が４つで
関係するラグランジュの分解式も４つだから
当然そうなる
（あとの１つの式β0は根の和だから-1
　β0~β4の5つの値から、逆ヴァンデルモンド行列で
　α0~α4という5つの根が出てくる)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/35

54: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2022/12/25(日) 09:30:49.45 ID:4mPovfMa

>>34 追加補足

まず(参考)
https://www-users.york.ac.uk/~bje1/galnotes.pdf
Symmetries of Equations: An Introduction
to Galois Theory
Brent Everitt 2007
Department of Mathematics, University of York,
P6
(1.9) If this was always the case, things would be very simple: Galois theory would just be the study
of the “shapes” formed by the roots of polynomials, and the symmetries of those shapes. It would be a
branch of planar geometry.
But things are not so simple. If we look at the solutions to x
5 - 2 = 0, something quite different
happens：
（図があるが略（というかここには示せない））
（言葉で書くと、複素平面上の半径r=α =2^1/5上に頂点を持つ正5角形で、頂点の一つが実数α =2^1/5で、そこから反時計回りに、αω,αω^2,αω^3,αω^4 と頂点が配置された図）
α =2^1/5
ω：1の5乗根
We will see later on how to obtain these expressions for the roots. A pentagon has 10 geometric symmetries, and you can check that all arise as symmetries of the roots of x^5 - 2 using the same reasoning as in
the previous example. But this reasoning also gives a symmetry that moves the vertices of the pentagon
according to:
（図があるが略（というかここには示せない））
（言葉で書くと、α は不動でαω→αω^3→αω^4→αω^2(→元のαωに戻る巡回置換の図）
This is not a geometrical symmetry! Later we will see that for p > 2 a prime number, the solutions to x^p - 2 = 0 have p(p - 1) symmetries.
(P7 Exercise 7 に、この部分が問題として出されている）
追記
余談だが、表紙のサッカーボールの図があり、表紙を開くとP2にこれを交代群A5のCaylayグラフにした見事な図示がある
これは、一見の価値ありです！
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/54

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