純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

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324: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/02(月) 20:31:06.43 ID:qZFMMNjk

>>319
ほいよｗ

下記”「Gは証明できない」と同値となる証明不能命題G（ゲーデル文）”が、自己言及に相当します
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲーデルの不完全性定理
概要
ゲーデルの不完全性定理は、ゲーデルが1931年の論文で証明した次の内容である[5]。
・『数学原理（プリンキピア・マセマティカ）』の体系や公理的集合論の中には、証明も反証もできない自然数論の命題が存在する[5]。
・また、これらの体系に公理を追加しても公理が有限個であれば、前述の命題の存在を解消できない[5]。
より正確には、不完全性定理は第一と第二に分かれている[5]。
略
証明の概要
準備
帰納的公理化可能な理論が自然数論を含むならば、当該理論における証明可能性が原始帰納的述語として表現できる。
この証明可能性述語を用いて、「Gは証明できない」と同値となる証明不能命題G（ゲーデル文）が、構成できる。
ゲーデル文を構成するためには自然数論の式を自然数に変換するゲーデル数および自己言及で用いられる対角化の技法（を形式化したもの）が必要である。後者は対角化補題と呼ばれる。

ゲーデル文Gは
「「xで表される述語の対角化は証明できない」で表される述語の対角化は証明できない」
と表される。
「xで表される述語の対角化は証明できない」
の対角化は、G自身と同値になる。

第一不完全性定理の証明の概要
さて、ゲーデル文Gが証明可能であれば、Σ1完全性により命題「Gは証明できる」もまた証明可能である。一方Gは命題「Gは証明できない」と同値であることが証明可能であるので、両者から矛盾が導かれる。

https://www.egison.org/~egi/etc/godel.html
ゲーデルの不完全性定理の証明スケッチ Satoshi Egi - 江木 聡志

http://wwwa.pikara.ne.jp/okojisan/infinity/incompleteness.html
不完全性定理のすごく簡単な説明 OK おじさんのホームページ
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/324

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