純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

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268: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/01(日) 16:42:37.65 ID:x1AjdVpC

>>267
つづき

§ 4 β およびその共役元
L/F は Kummer 拡大なので，適当な a ∈ F を用いて L = F(
√5 a) と表示することができる．a は通常通り次
のようにすれば求められる．
α0, α1, α2, α3, α4 を次のように定義する．
略
これら５つの F 上共役な元を用いて β を
β = α0 + α1η + α2η^2 + α3η^3 + α4η^4
と定義すると，
略
が成り立つので，β, βη, βη^2, βη^3, βη^4 は F 上すべて共役で，すべて x
5 - β^5 = 0 の解であり，
NL/F β = β ・ βσ・βσ2・βσ3・ βσ4= β・βη^4・βη^3・βη^2・βη = β5 ∈ F
であることが分かる．従って β5 を具体的に計算すれば，β はその元の 5 乗根として巾根表示されることになる．

§ 5 β^5 の計算
従って β =（略)＾1/5

§ 6 β0, β1, β2, β3, β4 の定義と，α0 の表示
．従って，α0 =1/5(β0 + β1 + β2 + β3 + β4)=略
が得られる．これにより ζ11 が巾根で表示できたことになり，問題は解決したといってもよい．た

§ 7 β の具体的な表示
略

§ 9 計算に役立ついくつかの事実
(1) Q の素イデアル (11) は F/Q では完全分解し，K/Q では完全分岐する．
(2) F も K も類数は 1 である．
F における 11 の素イデアルが (η - 3, 11), (η - 4, 11), (η - 5, 11), (η - 9, 11) であることはすぐに分か
るが，これらは単項なので，生成元を見つけておきたい．適当な単項イデアルのノルムをいくつか計算してみる
と (η - 9, 11) = (η + 2) であることがすぐに分かる．後はこの共役イデアルを考えれば，(η - 3, 11) = (η^2 + 2),
(η - 4, 11) = (η^3 + 2), (η - 5, 11) = (η^4 + 2) が得られる．
　この結果を用いると，例えば節４で表れた -η^3 - 2η^2 + 2η は，NF/Q(-η^3 - 2η^2 + 2η) = 112 であることか
らイデアルとして (-η^3 - 2η^2 + 2η) = (η - 4, 11)(η - 5, 11) = (η^3 + 2)(η^4 + 2) であることが分かり，数として
-η^3 - 2η^2 + 2η = η(η^3 + 2)(η^4 + 2) と素因数分解できることに気付く．
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/268

271: 和尚が? [] 2023/01/01(日) 17:25:18.89 ID:pCSmtf17

>>268
＞§ 5 β^5 の計算
＞従って β =（略)＾1/5

これは酷いｗ

せめてこのくらい書けよ
「β = α0 + α1η + α2η^2 + α3η^3 + α4η^4
　β^5 は手計算でも計算できる．
　そのためには（α0~α4の積に関する）次の演算規則を用意しておくと便利である．
　これを使うと β^2 が次のように計算される．
　ここで
　　α0 +α1η^2 +α2η^4 +α3η +α4η^3 = βτ である．
（後の節では (βτを)β2 とかくことになる．）　
　また，
　−η^3 −2η^2 + 2η =η(η^3 + 2)(η^4 + 2)
　と表せることも後に説明する．結局のところ
　　β^2 = η(η^3 + 2)(η^4 + 2)β2
　が分かった．
注意： β1^2/β2∈ F は τ の作用を考えれば明らかである．
　同様の計算により，
　　ββ2 = η^2(η + 2)(η^3 + 2)β3 が得られる．
　ここで
　　β3 = βτ^2= α0 + α1η^3 + α2η + α3η^4 + α4η^2
　である．
　また，
　　ββ3 = η(η^3 + 2)(η^4 + 2)β4 が得られる．
　ここで
　　β4 = βτ^3= α0 + α1η^4 + α2η^3 + α3η^2 + α4η
　である．
　最後に ββ4 を計算すると ββ4 = 11 がわかるので，
　　β^5
　= −11η^4(η + 2)(η^3 + 2)^3(η^4 + 2)^2
　= −η^4(η + 2)^2(η^2 + 2)(η^3 + 2)4(η^4 + 2)3
　が得られる．」

これを踏まえて>>183-195を読むとよくわかる
（そもそも「わか数」が参考にした子葉氏のページの
　元ネタは亀井氏のpdfらしいので同じなのは明らか）

ついでにいうと、この亀井さんという人は
京大数学科卒（整数論専攻）で現在予備校教師だそうだ

さすがに「わか数」（某私大数学科卒（情報科学専攻？））と違って
ちゃんと答えで出てくる数を因数分解して綺麗な形にしてますね
まあ、別にいいんですけどｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/271

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