純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

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266: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/01(日) 15:53:23.06 ID:x1AjdVpC

>>265
つづき

本稿で行ってみたのは次の事項です．
・ Galois 群 Gal(K/Q) を決定する，（実は D5）
・ 2 次の部分体 F を決定する．
・ f(x) = 0 の一つの解を α とするとき，他の解を F(α) の元として表す．
・ α を巾根表示する．
・ K を F の類体とみて，対応する射線 m と同型 Gal(K/F) ? Am/Hm を決定する．
・ K/Q で分岐する素数 2, 5 の素因子に対し，その分解群，惰性群，分岐群を決定する．
・ F の絶対類体を決定する．
・ 　判別式 D(E/Q), D(K/Q) を決定する．
・ 　整数環 OE, OK を決定する．
これらについては 2 章で見ることにして，この章では Galois 群が Z/5Z になる例と A5 になる例を一つずつ紹介
しておきましょう．

§ 1 5 次巡回拡大
ζ を 1 の複素 11 乗根とする．つまり ζ = exp2πi/11= cos2π/11+ isin2π/11
である．この場合円分体 Q(ζ) は Q上 10 次の巡回拡大であり，
Gal(Q(ζ)/Q) ? (Z/11Z)× ? Z/10Z =< σ >
ここで σ は σ(ζ) = ζ^2 で定義される自己同型である．（ 2 は (Z/11Z)× の原始根である．）
従って Gal(Q(ζ)/Q) の位数 2 の部分群 < σ5 > に対応する体 K が Q 上 5 次の巡回拡大になっている．
σ^5: ζ → ζ^2^5= ζ^32 = ζ^-1 は複素共役写像なので K = Q(ζ) ∩ R でもある．
α = ζ + ζ^-1 = 2 cos2π/11(≒ 1.682507065662362) と置くと
略
参考 1 α は x^5 + x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 0 の解であるが，Q 上 5 次巡回拡大の元であるからこの方程式は巾
根で解ける．実際，
α = 2 cos2π/11=1/5(略)
（Kamei_HP:http://www1.kcn.ne.jp/~mkamei/math/11th_root.pdf）
参考 2 　ちなみに (α - β)(β - γ)(γ - δ)(δ - ?)(? - α) = 11 で，これは素イデアル (11) が完全分岐することを表す．
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/266

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