純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

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265: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/01(日) 15:52:42.01 ID:x1AjdVpC

>>264 補足

下記いいね
「 x^5 + x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 0 の解
　α = 2 cos2π/11 」
　なんだね
　α = cos2π/11 より係数が小さくなるね
なるほどね

(参考)
http://www1.kcn.ne.jp/~mkamei/
亀井のホームページ
http://www1.kcn.ne.jp/~mkamei/math/
数学のページ
http://www1.kcn.ne.jp/~mkamei/math/galois_2.pdf
MeBio 　数学テキスト (2018.4.25 7:16)
x^5 - 5x + 12 = 0 について
?Galois 群，巾根表示，類体論，整数環?
目 次
第 1 章 きっかけと他の例 ..3
§ 1 5 次巡回拡大 ....... 3
§ 2 5 次交代群 A5 ...... 5
第 2 章 x^5 - 5x + 12 = 0 ..6
§ 1 Gal(K/Q) = D5 .... 6
§ 2 共役元を F[α] の元として表す ..... 7
§ 3 α の巾根表示 ....... 11
§ 4 Artin symbol (K/F/p)....... 14
§ 5 F の絶対類体....... 18
§ 6 |OE : Z[α]| と |OK : OF [α]| の決定 .... 20
§ 7 OE の決定...... 22
§ 8 OK の決定 1；2 巾の除去 ...... 23
§ 9 OK の決定 2；5 巾の除去 ...... 28
第 1 章
きっかけと他の例
筆者は医歯学部進学予備校メビオで数学講師として勤務しています．過日同僚の新家英太郎さんに「Q 上 Galois
群が A5 になる代数拡大の例は」と尋ねられ，いろいろ計算している途中で f(x) = x
5 - 5x + 12 = 0 なる「興味深い」方程式が見つかりました．この方程式の分解体 K の Galois 群 Gal(K/Q) は A5 ではなく D5 ですが，A5 と
異なり可解群ですから，種々の整数論的現象の例として非常に具体的な数値を示すことができます．その際，数式
ソフトが非常に有効です．整数であることがわかっている数を小数計算した結果，十分に整数に近い小数が得られ
たならその数が決定できたことにするわけです．（もちろん数学としてはその正当性を再確認する必要があります．）
筆者が学生の頃は万人が容易に使える数式ソフトなどなく，電卓レベルで計算するか自分でプログラムを組むか
ぐらいしかなかったのですが，今回数式ソフトを使ってみてその威力に驚きました．本稿ではその活用の仕方も紹
介したいと思います．計算には Maxima と Excel を多用しました．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/265

266: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/01(日) 15:53:23.06 ID:x1AjdVpC

>>265
つづき

本稿で行ってみたのは次の事項です．
・ Galois 群 Gal(K/Q) を決定する，（実は D5）
・ 2 次の部分体 F を決定する．
・ f(x) = 0 の一つの解を α とするとき，他の解を F(α) の元として表す．
・ α を巾根表示する．
・ K を F の類体とみて，対応する射線 m と同型 Gal(K/F) ? Am/Hm を決定する．
・ K/Q で分岐する素数 2, 5 の素因子に対し，その分解群，惰性群，分岐群を決定する．
・ F の絶対類体を決定する．
・ 　判別式 D(E/Q), D(K/Q) を決定する．
・ 　整数環 OE, OK を決定する．
これらについては 2 章で見ることにして，この章では Galois 群が Z/5Z になる例と A5 になる例を一つずつ紹介
しておきましょう．

§ 1 5 次巡回拡大
ζ を 1 の複素 11 乗根とする．つまり ζ = exp2πi/11= cos2π/11+ isin2π/11
である．この場合円分体 Q(ζ) は Q上 10 次の巡回拡大であり，
Gal(Q(ζ)/Q) ? (Z/11Z)× ? Z/10Z =< σ >
ここで σ は σ(ζ) = ζ^2 で定義される自己同型である．（ 2 は (Z/11Z)× の原始根である．）
従って Gal(Q(ζ)/Q) の位数 2 の部分群 < σ5 > に対応する体 K が Q 上 5 次の巡回拡大になっている．
σ^5: ζ → ζ^2^5= ζ^32 = ζ^-1 は複素共役写像なので K = Q(ζ) ∩ R でもある．
α = ζ + ζ^-1 = 2 cos2π/11(≒ 1.682507065662362) と置くと
略
参考 1 α は x^5 + x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 0 の解であるが，Q 上 5 次巡回拡大の元であるからこの方程式は巾
根で解ける．実際，
α = 2 cos2π/11=1/5(略)
（Kamei_HP:http://www1.kcn.ne.jp/~mkamei/math/11th_root.pdf）
参考 2 　ちなみに (α - β)(β - γ)(γ - δ)(δ - ?)(? - α) = 11 で，これは素イデアル (11) が完全分岐することを表す．
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/266

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