純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

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229: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2022/12/31(土) 23:34:59.82 ID:rNlYJ3SK

>>228
つづき

ウィッテンの提案の一部として、ヴィラソロプライマリー場はブラックホールを生成する作用素の双対であり、整合性チェックとして、彼は大きな質量境界で与えられたブラックホールのベッケンシュタイン・ホーキングの準古典エントロピーの見積もりと、対応するムーンシャイン加群のヴィラソロプライマリーの多重度の対数が一致することを発見した。小さな質量領域では、エントロピーに対して小さな量子補正が存在し、最も小さなエネルギーのプライマリー場は、{\displaystyle \log(196883)\sim 12.19}\log(196883)\sim12.19である。一方、ベッケンシュタイン・ホーキングの見積もりは{\displaystyle 4\pi \sim 12.57}4\pi\sim12.57である。

ダンカンとフレンケル（Duncan & Frenkel (2009)）は、ラーデマッハーの和（英語版）を使い、この双対性の証拠をさらに加え、大域的トーラス同種(isogeny)幾何学上の正規化された和を使い、(2+1)-次元重力の分配函数としてマッカイ・トンプソン級数を再現した。さらに、彼らは、モンスターの元でパラメトライズされるツイストしたカイラル重力の族の存在を予想し、一般化されたムーンシャインや重力インスタントンとの関係を示唆した。現在のところ、これら全てのアイデアは、むしろ期待でしかなく、その理由の一つとしては、3-次元量子重力が厳密な数学的な基礎を持っていないことにある。

マチュームーンシャイン
2010年、江口徹、大栗博司、立川祐二は、K3曲面上の楕円種数が N=(4,4) 超共形代数（英語版）の指標へ分解することができ、有質量状態（英語版）の多重度がマチュー群 M24（英語版）(Mathieu group M24)の既約表現の単純な結合のように見えることを発見した。このことは、M24 対称性を持つ対象空間としてK3曲面を持つシグマモデルの共形場理論が存在することを示唆している。しかし、向井・近藤分類によると、シンプレクティック自己同型による任意のK3曲面の上のこの群には忠実表現がなく、ガバルディエール(Gaberdiel)、ホーエンネッガー(Hohenegger)、ボロパト(Volpato)によると、任意のK3シグマモデルの共形場理論には忠実表現が存在しないという議論があり、基礎となるヒルベルト空間上に作用が現れないことがいまだにミステリーになっている。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/229

230: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2022/12/31(土) 23:35:56.76 ID:rNlYJ3SK

>>229
つづき

マッカイ・トンプソン級数の類似で、チェン(M. Cheng)は、多重乗法函数（英語版）(multiplicity function)も M24 の非自明元の次数付きトレースも両方とも、モックモジュラー形式（英語版）(Mock modular form)を形成することを示唆している。2012年、ガノン(Gannon)は、多重度の最初のものだけは M24の表現の非負な整数係数の線形結合であることを証明し、ガバルディエール(Gaberdiel)、パーソン(Persson)、ローネレンフィッチ(Ronellenfitsch)、ボロパト(Volpato)は、一般化されたムーンシャイン函数のすべての類似物を計算し、強くマチュー・ムーンシャインの背後に正則共形場理論の類似物が存在することを強く示唆した。

https://en.wikipedia.org/wiki/Monstrous_moonshine
Monstrous moonshine
Contents
1 History
2 The moonshine module
3 Borcherds' proof
4 Generalized moonshine
5 Modular moonshine
6 Conjectured relationship with quantum gravity
7 Mathieu moonshine
8 Origin of the term
9 Related observations

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ja/list/mayuko.html
山下 真由子 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~mayuko/index.html
研究紹介はこちらです
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ja/list/yoranPDF/38M-yamashita.pdf
助教　山下真由子（微分幾何学・トポロジーの研究）

2 つ目は, 上記の一般論を具体的な問題に応用する研究です. 素粒子物理学
者であるの立川裕二氏（東京大学）との共同研究において, 「ヘテロティック弦理論の量
子異常が存在しない」, という結果を示しました ([3])。これは物理学的な命題ですが, 一
般コホモロジーの変換の言葉に置き換えることで, 純粋数学的な手法によって問題を解決
することが可能になります。

[3] Y. Tachikawa and M. Yamashita. Topological modular forms and the absence of
all heterotic global anomalies, preprint. arXiv:2108.13542 (2021).

https://www.saiensu.co.jp/search/?isbn=4910054691122&y=2022
数理科学 2022年11月号 Ｎｏ.713
作用素・演算子と数理科学
その考え方と面白さを探る

・トポロジーと作用素・演算子 山下真由子
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/230

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