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純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/
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21: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/22(木) 23:54:59.26 ID:Oc9CAOS3 >>17 誤変換訂正 7節 「x^n-a=0の作る拡大隊」クンマー拡大 が、参考になるだろう ↓ 7節 「x^n-a=0の作る拡大体」クンマー拡大 が、参考になるだろう さて 前スレより https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/417 種を明かすと>>372の方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 の左辺は Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)). 方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。 その解法にはζ_5が必要だが 最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。 (引用終り) ここを、上記>>17の石井本に即して補足する １）クンマー拡大＆クンマー理論から、 5次の巡回群→5乗根a^(1/5)によるクンマー拡大Q(a^(1/5),ζ) の存在が分かる （ζは1の5乗根） ２）これから、 問題の5次方程式のべき根表示が得られる ３）問題の5次方程式は、すべて実根だから、 最小分解体Q（α1,α2,α3,α4,α5）⊂R で、実数R中なので、ζ（複素数）は含まない また、5乗根a^(1/5)も含まない（前スレでの議論） ４）すべて実根だが、べき根解法には 複素数を含むクンマー拡大Q(a^(1/5),ζ)が必須であることは 還元不能問題として有名（>>13の通り） ５）5次の既約な多項式からなる方程式が、可解になるのは そのガロア群が、位数20の線形群になるとき（あるいはその部分群のとき） 具体的には、位数20のF20フロベニウス群、位数10の二面体群D5、位数5の巡回群Z5（前スレに書いた通り） ６）このいずれの場合も、ガロア群の位数に5を因子として含むことから クンマー拡大Q(a^(1/5),ζ)が必須で、べき根表示には、あるaの5乗根が必ず使われる （aは、上記クンマー拡大を適用する直前の拡大体に含まれる数） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/21
22: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf [sage] 2022/12/23(金) 04:29:22.45 ID:vjYMqzPx >>21 君、石井本の第6章「根号で表す」の 9節 「ピークの定理に立とう」は読んだかい？ 確かに 「Q上の方程式f(x)=0の最小分解体をLとしたとき、Gal(L/G)が巡回群⇒ 基礎体をQ(ζ)としたときのGによる拡大体L(ζ)はベキ根を含む」 となる で、L(ζ)=L、つまりL自体にζが含まれる時、 その時に限り、Lにベキ根a^(1/n)が含まれる しかし、一般にζはLに含まれない、したがってその場合 Q(ζ)をL(ζ)にするために添加されたベキ根α^(1/n)もLに含まれない f(x)の根θがζとa^(1/n)を用いた形で表されるとしても それ自体はζでもa^(1/n)でもない ラグランジュの分解式を用いて、根からa^(1/n)をくくり出すには、ζが必要 根からベキ根への写像となるヴァンデルモンド行列は ζとそのベキによって構成される しかしLにζが無ければ、ヴァンデルモンド行列が構成できない！ これが答えだよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/22
25: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/23(金) 08:20:46.28 ID:IWsCfSx6 >>21 補足 いま、この方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 の左辺は Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)). （方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能） ここで、体の拡大を図示すると Q(α) Q(a^(1/5),ζ) ↑ ↑ Q－－－→Q(ζ) ここに、α＝cos(2π/11)、ζは1の5乗根 ・Q(α)は、最小分解体で、方程式は完全に因数分解される ・Q(a^(1/5),ζ)は、クンマー拡大 ・Q(a^(1/5),ζ)は、Q(ζ)に対し5次の拡大で、自己同型のガロア群は5次の巡回群 ・Q(a^(1/5),ζ)内で、α＝cos(2π/11)のべき根表示が得られるから Q(α)⊂Q(a^(1/5),ζ)だ ・Q(α)には、a^(1/5)とζの両方とも、含まれない ・Q(a^(1/5),ζ)は、Qから数えると、20次の拡大 ・α＝cos(2π/11)は、もとの方程式の三角関数による解法（根の三角関数による表示）と見ることができる こんな感じですかね なかなか、面白い例ですね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/25
43: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/24(土) 09:35:32.52 ID:WMwnzEw8 >>41 ありがとね （再録） >要するに、あるaが存在して、クンマー拡大 Q(a^1/5,ζ5)で >β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)と出来るかってこと >（a∈Q(ζ5)） aは一つじゃないけど つまり、η、η^2、η^4、η^3 の巡回ρによって生成される ρ(a)、ρ^2(a)、ρ^3(a) の 5乗根も追加される それも 石井本の9 ピークの定理に立とうの定理6.9(p481-486)に書いてある 証明全部読みなよ 全部書いてあるから (引用終り) １）いまの場合は、>>21より https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/417 種を明かすと>>372の方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 の左辺は Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)). 方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。 その解法にはζ_5が必要だが 最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。 (引用終り) とあるよね ２）だから、本質は”aは一つ”なんだよ 見かけ上複数に見えても、aは本質は1つ（複数の選択肢があるかも知れないが、どれか一つだけで済むはず） そうでないと、方程式のガロア群が5次の巡回群Z_5にならないから ３）”石井本の9 ピークの定理に立とうの定理6.9(p481-486)”は、 もっと一般の方程式論の場合だよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/43
158: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/31(土) 10:34:47.75 ID:rNlYJ3SK >>146 あらら どなた？ >目も当てられないほど低レベル 大口叩くなら 自分、なんか数学的に自慢できること書いてみなよ それができたら 実力を認めるよ ｗｗｗｗｗｗｗ >要するに敬遠するしかないということを自白している 敬遠？ ご冗談を しっかり引きつけて、叩きますよｗ 例えば、>>155なｗｗ あと、>>141は、円分多項式から、>>21 方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 が、数式ソフトで計算で出せるろうと思ってね wxMaximaでの試し切り中なんだよね やれる目途は立った http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/158
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