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純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/
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17: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/22(木) 21:19:28.89 ID:Oc9CAOS3 >>14 さて これには、下記の石井本の第6章「根号で表す」の 7節 「x^n-a=0の作る拡大隊」クンマー拡大 が、参考になるだろう ここで、例としてx^5-2=0を扱っている 1の5乗根をζとして、2の（実）5乗根を2^(1/5) ( ＝5√2（気分を出すため）)として 基礎体Qで 拡大体Q(5√2,ζ)で 20次の拡大になる（基底の個数は20） とある (参考) https://www.beret.co.jp/books/detail/487 ベレ出版 ガロア理論の頂を踏む 石井俊全 発売日 2013年08月22日発売 https://www.beret.co.jp/books/tachiyomi/images/487.pdf 立ち読み https://www.beret.co.jp/books/contents/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E7%9B%AE%E6%AC%A1.pdf 目次 https://www.beret.co.jp/errata/book/487 誠に申し訳ございませんが、以下の本の記載に誤りがありました。 訂正してお詫び申し上げます。 ガロア理論の頂を踏む 『ガロア理論の頂を踏む』（初版～7刷）正誤表 https://www.beret.co.jp/errata/files/a133112872fa27db32f140046b7db310.pdf 『ガロア理論の頂を踏む』 正誤表 20220614 現在 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/17
18: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf [] 2022/12/22(木) 21:37:33.49 ID:CT6RQiGn >>17 君、石井本の第6章「根号で表す」の 6節 「1のベキ根の作る体」は読んだかい？ 「問6.14 x^5-1=0のガロア群を求めよ」 1の原始5乗根の1つをζとする Q1. [Q(ζ):Q]はいくつ？ Q2．ガロア群Gal(Q(ζ)/Q)の位数はいくつ？ Q3. σ∈Gal(Q(ζ)/Q) は x^5-1=0の根を例えばどのように移す？ ダメな回答ｗ A1．5 A2．5 A3．σ(1)=ζ、σ(ζ)=ζ^2、σ(ζ^2)=ζ^3、σ(ζ^3)=ζ^4、σ(ζ^4)=1 まさか、ドヤ顔でこんな回答しないよね？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/18
21: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/22(木) 23:54:59.26 ID:Oc9CAOS3 >>17 誤変換訂正 7節 「x^n-a=0の作る拡大隊」クンマー拡大 が、参考になるだろう ↓ 7節 「x^n-a=0の作る拡大体」クンマー拡大 が、参考になるだろう さて 前スレより https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/417 種を明かすと>>372の方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 の左辺は Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)). 方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。 その解法にはζ_5が必要だが 最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。 (引用終り) ここを、上記>>17の石井本に即して補足する １）クンマー拡大＆クンマー理論から、 5次の巡回群→5乗根a^(1/5)によるクンマー拡大Q(a^(1/5),ζ) の存在が分かる （ζは1の5乗根） ２）これから、 問題の5次方程式のべき根表示が得られる ３）問題の5次方程式は、すべて実根だから、 最小分解体Q（α1,α2,α3,α4,α5）⊂R で、実数R中なので、ζ（複素数）は含まない また、5乗根a^(1/5)も含まない（前スレでの議論） ４）すべて実根だが、べき根解法には 複素数を含むクンマー拡大Q(a^(1/5),ζ)が必須であることは 還元不能問題として有名（>>13の通り） ５）5次の既約な多項式からなる方程式が、可解になるのは そのガロア群が、位数20の線形群になるとき（あるいはその部分群のとき） 具体的には、位数20のF20フロベニウス群、位数10の二面体群D5、位数5の巡回群Z5（前スレに書いた通り） ６）このいずれの場合も、ガロア群の位数に5を因子として含むことから クンマー拡大Q(a^(1/5),ζ)が必須で、べき根表示には、あるaの5乗根が必ず使われる （aは、上記クンマー拡大を適用する直前の拡大体に含まれる数） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/21
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