[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/

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155: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/31(土) 10:20:34.13 ID:rNlYJ3SK つづき p=11の場合 　ここまでくれば、α,βのとり方が分かります。p=11のとき、mod11の原始根は2ですので、平方剰余={4,5,9,3,1}、平方非剰余{2,8,10,7,6}です。 　そこで、ζ=exp(2πi11)とおいたうえで、 α=ζ+ζ^3+ζ^4+ζ^5+ζ^9 β=ζ^2+ζ^6+ζ^7+ζ^8+ζ^10 とおくと、α+β=-1がわかります。 αβ=(ζ+ζ^3+ζ^4+ζ^5+ζ^9)(ζ^2+ζ^6+ζ^7+ζ^8+ζ^10) 　=ζ^3+ζ^7+ζ^8+ζ^9+1 +ζ^5+ζ^9+ζ^10+1+ζ^2 +ζ^6+ζ^10+1+ζ^+ζ^3 +ζ^7+1+ζ^10+ζ^+ζ^2+ζ^4 +1+ζ^4+ζ^5+ζ^6+ζ^8=5+2(ζ+ζ^2+?+ζ^9+ζ^10)=3 　したがって、α,βは、 x^2+x+3=0 の解となります。そして、この2次方程式の判別式は、-11ですので、 α-β=±√-11 となります。 (引用終り) ガロア理論的視点では １）p=11の場合、(Z/pZ)×は位数10の巡回群C10で ２）巡回群は、アーベルで、部分群はすべて正規部分群 ３）位数5の巡回群C5を部分群にもち ４）可解列 C10⊃C5⊃{e} を構成できる ５）平方剰余で 原始根rの偶数乗 {1,r^2,r^4,?,r^p-3} (1＝r^p-1) は 　巡回群Cp-1中の正規部分群C(p-1)/2であり、上記p=11の場合も同様 ６）これが、ガウス和に対するガロア理論的視点でしょう (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4 巡回群 群を乗法的に書く場合には、位数 n の巡回群を Cn で表す（n = ∞ の場合も許す）。例えば g^3g^4 = g^2 は C5 において正しい（このことの加法的な対応物は 「3 + 4 = 2 は Z/5Z において正しい」である）。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/155

158: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/31(土) 10:34:47.75 ID:rNlYJ3SK >>146 あらら どなた？ >目も当てられないほど低レベル 大口叩くなら 自分、なんか数学的に自慢できること書いてみなよ それができたら 実力を認めるよ ｗｗｗｗｗｗｗ >要するに敬遠するしかないということを自白している 敬遠？ ご冗談を しっかり引きつけて、叩きますよｗ 例えば、>>155なｗｗ あと、>>141は、円分多項式から、>>21 方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 が、数式ソフトで計算で出せるろうと思ってね wxMaximaでの試し切り中なんだよね やれる目途は立った http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/158

163: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf [sage] 2022/12/31(土) 11:22:41.59 ID:cbuR6Msl >>154-155 もしかして、雑談クン、年末、なんだかんだいって、検索しただけかい？ なんだかなぁ >>157 どうも年末の間、一生懸命計算してたのは 「ヤコビ和」ってヤツなんでしょうか？ >>160 ボクは今更10代のガウスになったつもりで、ガリガリ計算してますｗ まあいろいろ新発見があって面白いです （そういうセリフは昭和の大学生時代に言いたかった　Ａ先生ゴメンチャイ） P.S. ＞数理論理では大学院レベル 実はそれも怪しかった・・・ ゲーデルの不完全性定理が本当に（？）理解できたのは、実は今世紀になってから （ああなさけないなさけない　Ｈ先生、S先生ゴメンチャイ） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/163

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