[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/

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13: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/22(木) 20:45:29.85 ID:Oc9CAOS3 戻る 前スレより https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/381 >>370-372 ”可解な既約5次方程式の代数解法には 　必ず5乗根が必要なことを示せ。” ね いまの5chの他のスレでは、回答がない可能性大だ よって 簡単に、ここに書けば １）ガロア第一論文の最後にあるように、 　既約5次方程式で可解な場合には、方程式の群は位数20の線形群になる 　（アルティン第3章3節、Coxガロア理論下、彌永 ガロア本 第二部などご参照） ２）既約5次方程式で、重根を持たないとする（これ重要） 　根 a1,a2,a3,a4,a5 の５つは、相異なるので、 　巡回置換 (a1,a2,a3,a4,a5)が存在し、従って位数5の巡回群が方程式の群に含まれる ３）ガロア第一論文の最後にあるように、方程式の群の可解列で、最後{e}(下記では{1}) 　の一つ前が、位数5の巡回群になる。これに対応するのが、5乗根の添加で 　例えば x^5=aで ここから、1の5乗根が出る 　これで、上記への回答はほぼ終わりだ ４）さて、追加で下記三次方程式における還元不能問題がある 　（還元不能問題とは、下記のあるように全部実根でも、途中で虚数を必要とすることをいう） ５）5次方程式を含む一般の方程式の還元不能問題については 　Coxガロア理論下 第III部 第8章 8.6節に詳しい ６）例えば、 　命題8.6.4： M⊂Lはガロア拡大で、L⊂Rをみたし、 　ある奇素数pに対して[L:M]=pをみたすと仮定する。 　このときLはMの実べき根拡大の中に入り得ない 　証明(略)（Coxを見よ） 　この命題は、不還元の場合の解析において鍵となる道具であると書かれている ７）上記の「必ず5乗根が必要」については、これで分かる 　なお、詳しく書き出せば切りが無い（実はめんどくさい）ので、この程度で終わる ８）質問があれば、してくれ。答えられる範囲で回答する ９）なお貧乏人のサルは、本を持ってないだろうから、図書館で借りてよめ！ｗ 　（また現役大学生なら、大学の図書館で読めるだろう） つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/13

14: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/22(木) 20:45:55.81 ID:Oc9CAOS3 >>13 つづき https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/382 (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4 可解群 https://hooktail.sub.jp/algebra/Radicals/ ガロア群と可解群 物理のかぎしっぽ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F 三次方程式 代数的解法 カルダノの方法 還元不能の場合 実数解しかないのにも関わらず、カルダノの公式では負の数の平方根を経由する必要がある。 カルダノはこの場合を還元不能（casus irreducibilis）と呼んだ。 この還元不能の場合を回避するために様々な努力がなされたが、実は、虚数を避けて実数の冪根と四則演算を有限回用いただけで解を書き下すことは不可能であるため、全て徒労に終わった。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%94%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F 五次方程式 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/14

16: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf [sage] 2022/12/22(木) 21:06:22.83 ID:CT6RQiGn >>13 ＞”可解な既約5次方程式の代数解法には必ず5乗根が必要なことを示せ。” １．可解な既約5次方程式のガロア群の正規部分群として 　　位数５の巡回群が現れる ２．ガロア群が位数５の巡回群となる場合 　　ラグランジュの分解式で解けるが、 　　その場合に５乗根が現れる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/16

21: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/22(木) 23:54:59.26 ID:Oc9CAOS3 >>17 誤変換訂正 7節 「x^n-a=0の作る拡大隊」クンマー拡大 が、参考になるだろう 　↓ 7節 「x^n-a=0の作る拡大体」クンマー拡大 が、参考になるだろう さて 前スレより https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/417 種を明かすと>>372の方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 の左辺は Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)). 方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。 その解法にはζ_5が必要だが 最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。 (引用終り) ここを、上記>>17の石井本に即して補足する １）クンマー拡大＆クンマー理論から、 　5次の巡回群→5乗根a^(1/5)によるクンマー拡大Q(a^(1/5),ζ) 　の存在が分かる 　（ζは1の5乗根） ２）これから、 　問題の5次方程式のべき根表示が得られる ３）問題の5次方程式は、すべて実根だから、 　最小分解体Q（α1,α2,α3,α4,α5）⊂R 　で、実数R中なので、ζ（複素数）は含まない 　また、5乗根a^(1/5)も含まない（前スレでの議論） ４）すべて実根だが、べき根解法には 　複素数を含むクンマー拡大Q(a^(1/5),ζ)が必須であることは 　還元不能問題として有名（>>13の通り） ５）5次の既約な多項式からなる方程式が、可解になるのは 　そのガロア群が、位数20の線形群になるとき（あるいはその部分群のとき） 　具体的には、位数20のF20フロベニウス群、位数10の二面体群D5、位数5の巡回群Z5（前スレに書いた通り） ６）このいずれの場合も、ガロア群の位数に5を因子として含むことから 　クンマー拡大Q(a^(1/5),ζ)が必須で、べき根表示には、あるaの5乗根が必ず使われる 　（aは、上記クンマー拡大を適用する直前の拡大体に含まれる数） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/21

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