純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

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673: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/12(木) 00:01:38.17 ID:x7NPo+If

>>465 より再録
http://www1.kcn.ne.jp/~mkamei/math/11th_root.pdf
1 の n 乗根の巾根表示
-n = 11, 13, 7-
2014.12.27 M.Kamei
P9
§ 10 C に埋め込んでの数値計算
ξ = exp^2πi/55= cos2π/55+ isin2π/55とおく．
ζ = ξ^5, η = ξ^11 である．
(引用終り)

1）”1の11乗根のべき根表示には、クンマー理論から1の5乗根が必要で
　そのために、1の55乗根（55＝5・11）に埋め込んで
　計算している
　これは、数学ではよく使われる手で、高次元に埋め込む手法”>>465
　までは書いた
2）さらに考えると、>>642 >>649 より
　x^5 - β^5 = 0 の解であり、β^5 ∈ F（β はその元の 5 乗根として巾根表示される）
　これは、クロネッカー・ウェーバーの定理（下記）の実例と見ることもできるね
3）つまり、クロネッカー・ウェーバーの定理は、円分体の表現能力が結構高い！ってことで
　β^5 ∈ F（＝Q(ζ5)）になるし
　β∈Q(ζ55)
　とも できるってことなんだ

1 の 11 乗根の巾根表示 は、クロネッカー・ウェーバーの定理の良い実例だね！

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体
アーベル拡大体の埋め込み
詳細は「クロネッカー・ウェーバーの定理」を参照
クロネッカー＝ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber's theorem)

K を有理数体上のアーベル拡大体としたとき、ある整数 m＞＝ 3 が存在して、
K⊂ Q(ζm) 。
例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、クロネッカー＝ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。

クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/673

692: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/12(木) 23:48:44.70 ID:x7NPo+If

>>673 追加
　>>465 より再録
http://www1.kcn.ne.jp/~mkamei/math/11th_root.pdf
1 の n 乗根の巾根表示
-n = 11, 13, 7-
2014.12.27 M.Kamei
(引用終り)

１）まず、記号を準備しよう（ほぼKamei氏の通り）
　1 の 11 乗根 ζ11、1 の 5 乗根 ζ5、1 の 55 乗根 ζ55
　ζ11＝e^2πi/11 ＝cos 2π/11 + i sin 2π/11 など
　2cos 2π/11＝ζ11 + 1/ζ11
　α＝α1=cos 2π/11,α2=cos 2π2/11,α3=cos 2π3/11,α4=cos 2π4/11,α5=cos 2π5/11 で、これは(ζ11)^k k=1,2・・,5の実数部分
２）また、Kamei氏のβをβkameとする。βkame^5∈Q(ζ5) である
　βkame∈Q(ζ55)である
３）体の拡大
　Q(α)=Q(α1,α2,α3,α4,α5) ⊂R（つまり実数内）｜Q(α)=Q(α1,α2,α3,α4,α5) は、方程式 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0の最小分解体>>436
　Q(α)⊂Q(α,βkame^5)⊂Q(α,ζ5)⊂Q(βkame,ζ5)⊂Q(ζ55)
（Q(βkame,ζ5)≠Q(ζ55)かな）
４）さて、sin 2π/11 のべき根表示はどうなるか？
　sin 2π/11＝√(1-(cos 2π/11)^2) 、つまり平方根を開く必要がある
　なので、βkame∈Q(ζ55) を思い出すと
　sin 2π/11のべき根表示に使うβkame相当のものをγkameとして
　γkame∈ Q(ζ110) | 110＝2x55
　だろう
　そもそも、1 の 11 乗根のガロア群は位数10の巡回群だった
　cos 2π/11の系統のみを取り出して、位数5の巡回群として、Q(ζ55)でべき根表示を得た
　だから、sin 2π/11のべき根表示は、γkame∈ Q(ζ110)で、辻褄はあっているだろう

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/692

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