純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

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154(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)10:18 ID:rNlYJ3SK(1/33) AAS
>>70
>美的数学のすすめ　ガウス和
> 外部ﾘﾝｸ:biteki-math.はてなブログ.com/entry/2015/03/17/013543
>「へーほーじょーよ」って言葉があるだろ？

もどる
（なお、TSKi氏 2015-03-17 ね、念のため）
「へーほーじょーよ」に、目がくらんで、ガロア理論的視点が抜けてないか？
省18

155(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)10:20 ID:rNlYJ3SK(2/33) AAS
つづき

p=11の場合
　ここまでくれば、α,βのとり方が分かります。p=11のとき、mod11の原始根は2ですので、平方剰余={4,5,9,3,1}、平方非剰余{2,8,10,7,6}です。
　そこで、ζ=exp(2πi11)とおいたうえで、
α=ζ+ζ^3+ζ^4+ζ^5+ζ^9
β=ζ^2+ζ^6+ζ^7+ζ^8+ζ^10
とおくと、α+β=-1がわかります。
省26

156: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)10:23 ID:rNlYJ3SK(3/33) AAS
>>154
ああ、文字化けしているね？のところ
原文ご参照ねがう（この板でみるより、はるかに見やすいよ）

158(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)10:34 ID:rNlYJ3SK(4/33) AAS
>>146
あらら
どなた？

>目も当てられないほど低レベル

大口叩くなら
自分、なんか数学的に自慢できること書いてみなよ
それができたら
省11

159(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)10:53 ID:rNlYJ3SK(5/33) AAS
>>158 補足

　>>144で
”ご苦労様です”としたのは

　>>140より
”＞a^1/5と1の原始5乗根ηとで具体的表式で示せれば、
＞これぞクンマー拡大の典型例となる
＞そう思ったわけです
省14

161(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)11:07 ID:rNlYJ3SK(6/33) AAS
>>148-149
>ラグランジュ分解式を指標和と考えるメリット？
>ポントリャーギン双対として統一的な理解が得られる。
>外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
>前スレに書いた、「巡回方程式のべき根表示=フーリエ級数展開の類似」
>も、ほぼもろに書いてありますね。
>>・有限アーベル群上の複素数値函数はその（もとの群と自然同型ではないが同型な）
省9

162: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)11:20 ID:rNlYJ3SK(7/33) AAS
>>148
＞ポントリャーギン双対として統一的な理解が得られる。

ポントリャーギン双対から、ボーアコンパクト化→ Harald August Bohrへ
ノーベル物理学賞のNiels Henrik David Bohrの弟とある
”He was a member of the Danish national football team for the 1908 Summer Olympics, where he won a silver medal.[2]”
だって
サッカーやってたんだ
省13

166(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)11:46 ID:rNlYJ3SK(8/33) AAS
>>160
>わかるすうがく氏はガロア理論を
>「ヨチヨチ歩き」レベルから始めてるとは言っても
>数理論理では大学院レベルなのだから
>数学そのものの理解力は段違い
>妙な対抗意識は持たない方がいい。
>（持った方が漫才としては面白いがｗ）
省18

169(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)12:21 ID:rNlYJ3SK(9/33) AAS
>>161 追加

もし、>>148のID:3jK34k/w氏が、
”前スレに書いた、「巡回方程式のべき根表示=フーリエ級数展開の類似」”氏と
同一人物ならば、>>27の方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
に、そのポントリャーギン双対を適用して見せてね

そうでないと、つじつま合わせに、ポントリャーギン双対を検索で見つけてきた
省4

171(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)12:26 ID:rNlYJ3SK(10/33) AAS
>>168
>>”数学そのものの理解力”を発揮して、
>>まともなことを書いてくれるのは結構です
>それに反対はしない
>　アルェー？「箱入り無数目」には反対してたみたいだけど
>　でも誰かに指摘されてたけど、代表元はその都度選ぶもんじゃないよ
>　そこ読み間違ってたって気づいた？
省6

174(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)13:54 ID:rNlYJ3SK(11/33) AAS
>>163
>P.S.
>＞数理論理では大学院レベル
>実はそれも怪しかった・・・
>ゲーデルの不完全性定理が本当に（？）理解できたのは、実は今世紀になってから
>（ああなさけないなさけない　Ｈ先生、S先生ゴメンチャイ）

全くです
省42

175: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)13:56 ID:rNlYJ3SK(12/33) AAS
>>173
>厳正的確精緻細密な数学的記述が一切できてなくて間違えられてさえ居ねぇテメェの何が正しいだ此のハッタリ100%野郎が

こういうカキコは
蕎麦屋さんかな
蕎麦屋さんも、時枝不成立が分からないんだｗ

176: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)14:00 ID:rNlYJ3SK(13/33) AAS
>>172
それ
全く見当違いだよ

時枝が
全然わかってないねｗ

179(6): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)16:35 ID:rNlYJ3SK(14/33) AAS
>>169
>もし、>>148のID:3jK34k/w氏が、
>”前スレに書いた、「巡回方程式のべき根表示=フーリエ級数展開の類似」”氏と
>同一人物ならば、>>27の方程式
>x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
>に、そのポントリャーギン双対を適用して見せてね
>そうでないと、つじつま合わせに、ポントリャーギン双対を検索で見つけてきた
省18

180(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)16:36 ID:rNlYJ3SK(15/33) AAS
>>179
つづき

それよか、あんた「群と作用」で逃げているよね、前スレ 2chｽﾚ:math
　">>780
>だから、その理解が間違っている。クンマー拡大と円分拡大ではガロア群の作用の仕方が違う。
話が上滑りだよ
１）群の作用を論じるならば、下記佐々木隆二のように群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね"
省18

182(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)17:05 ID:rNlYJ3SK(16/33) AAS
>>180
>>だから、その理解が間違っている。クンマー拡大と円分拡大ではガロア群の作用の仕方が違う。
>話が上滑りだよ
> １）群の作用を論じるならば、下記佐々木隆二のように群Gと作用域Λ 最低限この2つを定義してね"
>と、私が指摘した

群Gと作用域Λで思い出すのは、岩波全書の高等代数学1 秋月康夫・鈴木通夫著
これが、ほぼ冒頭から、”作用域を持つ群”で始まってね
省26

190(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)17:15 ID:rNlYJ3SK(17/33) AAS
>>181
>　私は中学生でナーゲル・ニューマンの「数学から超数学へ　ゲーデルの証明」読んだ

ああ、あったね
その本（読んでないけど、チラ見した記憶がある）
だが、私のは、その前の出版で、著者は日本人だった
原本は、置き場がないので処分した

>　で、自己言及とかいうだけなら誰でもいえるのよ　
省26

203(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)18:15 ID:rNlYJ3SK(18/33) AAS
>>183
＞(η=ζ5=ζ11^2　ζ11=-η^3　ζ11^10=-η^2)

ここ大丈夫か？
ζ5＝e^2πi/5
ζ11＝e^2πi/11
だろ？

206(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)18:38 ID:rNlYJ3SK(19/33) AAS
>>200
>群も作用域もわからん人が、何をブチ切れてるんだか
>作用域ってのは

ふっ、>>182で何を誤解しえいるのかな？
岩波全書の高等代数学1 秋月康夫・鈴木通夫著を読んだのは、
高校だったか大学1年だったか忘れたけど
ともかく、大学レベルの代数学で読んだ最初の本だった
省32

207(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)18:47 ID:rNlYJ3SK(20/33) AAS
>>204
>いいところに気がつきましたね…ただの凡ミスですけどｗ
>誤　(η=ζ5=ζ11^2　ζ11=-η^3　ζ11^10=-η^2)
>正　(η=ζ5=ζ10^2　ζ10=-η^3　ζ10^9=-η^2)
>要するに、10乗根を5乗根で表せるとコメントしただけ
>計算には全く影響ありません（ビシッ）

そういうミスに気づくのが、工学屋なんだ
省6

208(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)18:52 ID:rNlYJ3SK(21/33) AAS
>>196
>＞　”自己言及”が、キモ中のキモだよ
>＞　分かってないねｗ
>　　ちっちっち、分かってないねｗ
>　　残念ながら、自己言及なしのゲーデルの不完全性定理もあるんだな
>　　キーワードは　Yablo の逆理ね
>　　ま、自己言及の代わりに無限個の文の連なりを使ってるだけだけどｗ
省6

214(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)20:08 ID:rNlYJ3SK(22/33) AAS
>>205
あとさ

いまどき
計算は、エクセルでも数式処理でも
結構できるけど
目標と見通しをもってやらないとね

例えば、>>159
省28

217(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)20:47 ID:rNlYJ3SK(23/33) AAS
>>212-213
表現論ね

手元に「有限群の表現」永尾汎、津島行夫共著数学選書8 裳華房 2009年第2版4刷（1987年第1刷）
がある
なにか分からないときに調べるための辞書かわりに買ったんだが
ぱらぱら読んだ記憶があるけど・・
ほとんど読んでないな（きれいなままｗ）（伊藤昇 (著)有限群論は、何度か読んだけど）
省9

218(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)20:47 ID:rNlYJ3SK(24/33) AAS
>>217
つづき

外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
数学論説
有限単純群の分類
鈴木通夫
981年4月5目京都大学における日本数学会年会の総合講演(1981年11,月20日提出)
省13

219(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)21:00 ID:rNlYJ3SK(25/33) AAS
>>217 訂正

（伊藤昇 (著)有限群論は、何度か読んだけど）
　↓
（鈴木　通夫著群論上下は、何度か読んだけど）

だな
伊藤先生のは読んでない
鈴木　通夫先生の本は、面白かった
省24

226: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)23:04 ID:rNlYJ3SK(26/33) AAS
>>219 追加

出版年は、正確には下記だな
外部ﾘﾝｸ[html]:www.iwanami.co.jp
現代数学 18
群論　（上）
著者鈴木　通夫著
ジャンル書籍 > 自然科学書 > 数学
省19

227(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)23:32 ID:rNlYJ3SK(27/33) AAS
>>220
＞ムーンシャイン出てきたから有限単純群の分類はとっても意味あったね

そうだね
ムーンシャインは、物理の超弦理論とも関係していて不思議だね
”マチュームーンシャイン
2010年、江口徹、大栗博司、立川祐二”

立川祐二氏、山下真由子氏との共同研究があるとか（下記）
省9

228(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)23:33 ID:rNlYJ3SK(28/33) AAS
>>227
つづき

この予想は、コンウェイ・ノートンの予想の一般化である。その理由は、ボーチャーズの定理が、g が恒等元として設定されているときの場合に関係しているからである。今日まで、この予想は未解決である。

コンウェイ・ノートンの予想のように、一般化されたムーンシャイン予想もまた、物理的な解釈をもっていて、1988年にディクソン・ギンスパーク・ハーヴィ(Dixon-Ginsparg-Harvey)により提案されたDixon, Ginsparg & Harvey (1989)。かれらはベクトル空間 V(g) をモンスター対称性を持った共形場理論のツイストされたセクターとして、また、函数 f(g,h,τ) の乗法的数列の種数 1 を分配函数の種数として解釈した。

量子重力との予想される関係
2007年、エドワード・ウィッテン(Edward Witten)は、AdS/CFT対応が (2+1)-次元の反ド・ジッター空間の純粋量子重力と、臨界で正則CFTの間の双対性を主張していると示唆した。(2+1)-次元の純粋重力は自由度を持たないが、しかし宇宙定数が負のときにBTZブラックホール解が存在するために非自明なことが起きる。ハーン(G. Hohn)により導入された臨界CFTは、低エネルギーではヴィラソロプライマリー場を持たないということにより特徴づけられ、ムーシャイン加群が一つの例となっている。

ウィッテンの提案（Witten (2007)）に従うと、AdS空間内の最大の負の宇宙定数を持つ重力は、中心電荷 {\displaystyle c=24}c=24 でCFTの分配函数がちょうど {\displaystyle j-744}j-744 となる正則CFTのAdS/CFT双対である。この正則CFTは、ムーンシャイン加群の次数付き指標(character)である。フレンケル・レポウスキー・ミュールマンの予想であるムーンシャイン加群は、中心電荷が 24 で指標が {\displaystyle j-744}j-744 である唯一の正則頂点作用素代数(VOA)であるという予想を前提として、ウィッテンは最大の負の宇宙定数を持つ純粋重力は、モンスターCFTの双対であると結論づけた。
省1

229(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)23:34 ID:rNlYJ3SK(29/33) AAS
>>228
つづき

ウィッテンの提案の一部として、ヴィラソロプライマリー場はブラックホールを生成する作用素の双対であり、整合性チェックとして、彼は大きな質量境界で与えられたブラックホールのベッケンシュタイン・ホーキングの準古典エントロピーの見積もりと、対応するムーンシャイン加群のヴィラソロプライマリーの多重度の対数が一致することを発見した。小さな質量領域では、エントロピーに対して小さな量子補正が存在し、最も小さなエネルギーのプライマリー場は、{\displaystyle \log(196883)\sim 12.19}\log(196883)\sim12.19である。一方、ベッケンシュタイン・ホーキングの見積もりは{\displaystyle 4\pi \sim 12.57}4\pi\sim12.57である。

ダンカンとフレンケル（Duncan & Frenkel (2009)）は、ラーデマッハーの和（英語版）を使い、この双対性の証拠をさらに加え、大域的トーラス同種(isogeny)幾何学上の正規化された和を使い、(2+1)-次元重力の分配函数としてマッカイ・トンプソン級数を再現した。さらに、彼らは、モンスターの元でパラメトライズされるツイストしたカイラル重力の族の存在を予想し、一般化されたムーンシャインや重力インスタントンとの関係を示唆した。現在のところ、これら全てのアイデアは、むしろ期待でしかなく、その理由の一つとしては、3-次元量子重力が厳密な数学的な基礎を持っていないことにある。

マチュームーンシャイン
2010年、江口徹、大栗博司、立川祐二は、K3曲面上の楕円種数が N=(4,4) 超共形代数（英語版）の指標へ分解することができ、有質量状態（英語版）の多重度がマチュー群 M24（英語版）(Mathieu group M24)の既約表現の単純な結合のように見えることを発見した。このことは、M24 対称性を持つ対象空間としてK3曲面を持つシグマモデルの共形場理論が存在することを示唆している。しかし、向井・近藤分類によると、シンプレクティック自己同型による任意のK3曲面の上のこの群には忠実表現がなく、ガバルディエール(Gaberdiel)、ホーエンネッガー(Hohenegger)、ボロパト(Volpato)によると、任意のK3シグマモデルの共形場理論には忠実表現が存在しないという議論があり、基礎となるヒルベルト空間上に作用が現れないことがいまだにミステリーになっている。

つづく

230: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)23:35 ID:rNlYJ3SK(30/33) AAS
>>229
つづき

マッカイ・トンプソン級数の類似で、チェン(M. Cheng)は、多重乗法函数（英語版）(multiplicity function)も M24 の非自明元の次数付きトレースも両方とも、モックモジュラー形式（英語版）(Mock modular form)を形成することを示唆している。2012年、ガノン(Gannon)は、多重度の最初のものだけは M24の表現の非負な整数係数の線形結合であることを証明し、ガバルディエール(Gaberdiel)、パーソン(Persson)、ローネレンフィッチ(Ronellenfitsch)、ボロパト(Volpato)は、一般化されたムーンシャイン函数のすべての類似物を計算し、強くマチュー・ムーンシャインの背後に正則共形場理論の類似物が存在することを強く示唆した。

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Monstrous moonshine
Contents
1 History
省27

231(6): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)23:57 ID:rNlYJ3SK(31/33) AAS
>>161 戻る
　>>148-149
>ラグランジュ分解式を指標和と考えるメリット？
>ポントリャーギン双対として統一的な理解が得られる。
>外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
>前スレに書いた、「巡回方程式のべき根表示=フーリエ級数展開の類似」
>も、ほぼもろに書いてありますね。
省20

232(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)23:57 ID:rNlYJ3SK(32/33) AAS
>>231
つづき

他にも非可換群に対する双対理論の類似物は存在していて、いくつかは作用素環論の言葉で定式化されている。基本的な出発点は群 G の群環と双対群 G^ の関数環とが同型になっているということである。

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Pontryagin duality
Dualities for non-commutative topological groups
For non-commutative locally compact groups {\displaystyle G}G the classical Pontryagin construction stops working for various reasons, in particular, because the characters don't always separate the points of {\displaystyle G}G, and the irreducible representations of {\displaystyle G}G are not always one-dimensional. At the same time it is not clear how to introduce multiplication on the set of irreducible unitary representations of {\displaystyle G}G, and it is even not clear whether this set is a good choice for the role of the dual object for {\displaystyle G}G. So the problem of constructing duality in this situation requires complete rethinking.
省3

233: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)23:58 ID:rNlYJ3SK(33/33) AAS
>>232
つづき

The theories of first type appeared later and the key example for them was the duality theory for finite groups.[19][20] In this theory the category of finite groups is embedded by the operation {\displaystyle G\mapsto \mathbb {C} _{G}}{\displaystyle G\mapsto \mathbb {C} _{G}} of taking group algebra {\displaystyle \mathbb {C} _{G}}{\displaystyle \mathbb {C} _{G}} (over {\displaystyle \mathbb {C} }\mathbb{C} ) into the category of finite dimensional Hopf algebras, so that the Pontryagin duality functor {\displaystyle G\mapsto {\widehat {G}}}{\displaystyle G\mapsto {\widehat {G}}} turns into the operation {\displaystyle H\mapsto H^{*}}{\displaystyle H\mapsto H^{*}} of taking the dual vector space (which is a duality functor in the category of finite dimensional Hopf algebras).[20]

In 1973 Leonid I. Vainerman, George I. Kac, Michel Enock, and Jean-Marie Schwartz built a general theory of this type for all locally compact groups.[21] From the 1980s the research in this area was resumed after the discovery of quantum groups, to which the constructed theories began to be actively transferred.[22] These theories are formulated in the language of C*-algebras, or Von Neumann algebras, and one of its variants is the recent theory of locally compact quantum groups.[23][22]

One of the drawbacks of these general theories, however, is that in them the objects generalizing the concept of group are not Hopf algebras in the usual algebraic sense.[20] This deficiency can be corrected (for some classes of groups) within the framework of duality theories constructed on the basis of the notion of envelope of topological algebra.[24]
(引用終り)
以上

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