[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
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110(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)08:37 ID:bjNnsn/s(1/21) AAS
さて、そろそろ投下するか
n=1 X-1
ζ1=1
n=2 X^2-1=(X-1)(X+1)
ζ2=-1
n=3 X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)
X^2+X+1=(X-ζ3)(X-ζ3^2)
省14
111(4): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)08:48 ID:bjNnsn/s(2/21) AAS
n=4 X^4-1=(X-1)(X+1)(X^2+1)
X=(-1)^(1/2)
n=5 X^5-1=(X-1)(X^4+X^3+X^2+X+1)
ラグランジュ分解式
ζ5+ ζ5^2+ζ5^4+ ζ5^3 ?
ζ5+iζ5^2-ζ5^4-iζ5^3 ?
ζ5- ζ5^2+ζ5^4- ζ5^3 ?
省13
112(3): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)08:49 ID:bjNnsn/s(3/21) AAS
>>111を踏まえて
?^2
=(ζ5+iζ5^2-ζ5^4-iζ5^3)^2
=((ζ5-ζ5^4)+i(ζ5^2-ζ5^3))^2
=((ζ5-ζ5^4)^2-(ζ5^2-ζ5^3)^2+2i(ζ5-ζ5^4)(ζ5^2-ζ5^3))
=((ζ5^2+ζ5^3-2)-(ζ5^4+ζ5-2)+2i(ζ5^3-ζ5-ζ5^4+ζ5^2))
=((-1-2i)√5)
省25
113(2): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)08:50 ID:bjNnsn/s(4/21) AAS
>>112 したがって
ζ5
=1/4(?+?+?+?)
=(-1+√5)/4+i√(10+2√5)/4
ζ5^4
=1/4(?+?-?-?)
=(-1+√5)/4-i√(10+2√5)/4
省6
114(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)08:53 ID:bjNnsn/s(5/21) AAS
>>110-113
ま、この程度は高校生どころか
中学生でもできるだろう
所詮二次方程式だからね
1ことSET Aクンにはできるかな？
もちろん これで終わりではない
続きがあるのだよ 乞うご期待
118: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)09:16 ID:bjNnsn/s(6/21) AAS
>>116
そこは、そもそも指標とは何なのか、から、来年頑張らせてもらうｗ
年末はとりあえず 「ラグランジュであそぼ」
119(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)09:21 ID:bjNnsn/s(7/21) AAS
>>116-117
大学の頃は、整数論は「敬して遠ざける」態度だったが
実にもったいないことをした
専門とするか否かはともかくとして、円分多項式は実に面白い
三角関数が分かってるなら、なんとかなるだろう（理屈はともかく）
128(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)17:24 ID:bjNnsn/s(8/21) AAS
>>114
続きを投下するか
n=6
X^6-1=(X-1)(X+1)(X^2+X+1)(X^2-X+1)
((-X)^2+(-X)+1)=X^2-X+1
ζ6 =-ζ3^2= (1+√(-3))/2
ζ6^5=-ζ3 = (1-√(-3))/2
省13
129(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)17:26 ID:bjNnsn/s(9/21) AAS
AA省
130(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)17:26 ID:bjNnsn/s(10/21) AAS
AA省
131(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)17:27 ID:bjNnsn/s(11/21) AAS
>>130
?*?
= (ζ7 +ζ7^6)(ζ7 +ζ7^6)+ω (ζ7 +ζ7^6)(ζ7^3+ζ7^4)+ω^2(ζ7 +ζ7^6)(ζ7^2+ζ7^5)
+ω^2(ζ7^3+ζ7^4)(ζ7 +ζ7^6)+ (ζ7^3+ζ7^4)(ζ7^3+ζ7^4)+ω (ζ7^3+ζ7^4)(ζ7^2+ζ7^5)
+ω (ζ7^2+ζ7^5)(ζ7 +ζ7^6)+ω^2(ζ7^2+ζ7^5)(ζ7^3+ζ7^4)+ (ζ7^2+ζ7^5)(ζ7^2+ζ7^5)
= ((ζ7^2+ζ7^5+2)+(ζ7^6+ζ7+2)+(ζ7^4+ζ7^3+2)
+ω (2*(ζ7+ζ7^6)+(ζ7^3+ζ7^4)+(ζ7^2+ζ7^5))
省23
132(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)17:29 ID:bjNnsn/s(12/21) AAS
>>131
?=(ζ7-ζ7^6)+ (ζ7^2-ζ7^5)+ (ζ7^4-ζ7^3)
?=(ζ7-ζ7^6)+ω (ζ7^2-ζ7^5)+ω^2(ζ7^4-ζ7^3)
?=(ζ7-ζ7^6)+ω^2(ζ7^2-ζ7^5)+ω (ζ7^4-ζ7^3)
?^2
=((ζ7+ζ7^2+ζ7^4)-(ζ7^3+ζ7^5+ζ7^6))^2
=((ζ7+ζ7^2+ζ7^4)^2+(ζ7^3+ζ7^5+ζ7^6)^2-2(ζ7+ζ7^2+ζ7^4)(ζ7^3+ζ7^5+ζ7^6))
省6
133(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)17:30 ID:bjNnsn/s(13/21) AAS
AA省
134(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)17:30 ID:bjNnsn/s(14/21) AAS
AA省
135(2): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)17:31 ID:bjNnsn/s(15/21) AAS
>>134
?^3
=?(2-ω)?
=(2-ω)(2ω+3)?
=(2-ω)(2ω+3)√-7
=(-2ω^2+ω+6)√-7
=(3ω+8)√-7
省15
136: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)17:32 ID:bjNnsn/s(16/21) AAS
>>135
したがって
ζ7 =1/6(?+ ? +?+? +? +?)
ζ7^3=1/6(?-ω ?+ω^2?-?+ω ?-ω^2?)
ζ7^2=1/6(?+ω^2?+ω ?+?+ω^2?+ω ?)
ζ7^6=1/6(?- ? +?-? +? -?)
ζ7^4=1/6(?+ω ?+ω^2?+?+ω ?+ω^2?)
省1
137: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)17:37 ID:bjNnsn/s(17/21) AAS
>>128-136
ま、三次方程式だから、
カルダノの公式を使うこともできるが
あえてそうしなかった
これがラグランジュ分解式の威力だよ
さて
５次「まなったん」に続き
省3
139: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)18:05 ID:bjNnsn/s(18/21) AAS
>>138
自分で計算しないと、数学は全く理解できないよ
140(2): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)18:21 ID:bjNnsn/s(19/21) AAS
>>59
＞いま、β1とか具体的数式で与えられているから
＞具体的に2項方程式 x^5-a＝0のa∈K（1の原始5乗根を含む体）を与えて
＞β1＝aでもいいけど、それで他のβ2,β3,β4を、
＞a^1/5と1の原始5乗根ηとで具体的表式で示せれば、
＞これぞクンマー拡大の典型例となる
＞そう思ったわけです
省5
142: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)19:59 ID:bjNnsn/s(20/21) AAS
>>141
万年高校生の雑談クンらしい実験だね
143(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)20:03 ID:bjNnsn/s(21/21) AAS
どうせなら、こんなこと↓に挑戦してみたら？
円分多項式の係数を計算する - 〈105〉を超えて
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