純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

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761: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/15(日) 12:35:39.38 ID:fdSQKtbP

>>732
>sin(2π/11)はQ(exp(2πi/11))には含まれない。
>Q(exp(2πi/44))に含まれる。こういう包含関係の

なるほど
それ面白いね

下記Cyclotomic fieldで
n=2については、トリビアすぎで記載がないが、
x^2=1 では、x=1,-1 で、Q(-1) = Qにしかならない

・>>744に書いたけど、n=k (k奇数)では、k→2kを考えても、意味が無い
・一方、下記n = 4で、ζ4 = i,Q(ζ4) = Q(i)だから
　n＝4k になる場合、i∈Q(ζ4k)かな？
・この場合、i∈Q(exp(2πi/44))か
　そうすると、Q(exp(2πi/11))⊂Q(exp(2πi/44))で
　ζ11＝cos(2π/11)+i sin(2π/11)で
　下記 Q(ζm)∩R=Q(ζm+1/ζm) より
　Q(cos(2π/11))⊂ Q(exp(2πi/11))⊂Q(exp(2πi/44))
　念のために書くと
　Q(cos(2π/11))=Q(ζm + 1/ζm)⊂ Q(ζ11)⊂Q(ζ44)
　そして
　cos(2π/11),i∈Q(ζ44)で、
　sin(2π/11)=(ζ11 - cos(2π/11))/i ∈Q(ζ44)となる
・Q(ζ55)には、虚数単位iは含まれないかな？

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_field
Cyclotomic field
Small examples
n = 4: Similarly, ζ4 = i, so Q(ζ4) = Q(i), and a regular 4-gon is constructible.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体
性質
Q(ζm)∩R=Q(ζm + 1/ζm) である。このQ(ζm + 1/ζm) を、最大実部分体または実円分体という。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/761

857: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/17(火) 18:29:34.38 ID:3oKQI8/3

>>856
つづき

https://ja.wikibooks.org/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96/%E5%8E%9F%E5%A7%8B%E6%A0%B9%E3%81%A8%E6%8C%87%E6%95%B0
初等整数論/原始根と指数

https://ja.wikibooks.org/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96/%E3%81%B9%E3%81%8D%E5%89%B0%E4%BD%99
初等整数論/べき剰余

https://ja.wikibooks.org/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96/%E5%90%88%E6%88%90%E6%95%B0%E3%82%92%E6%B3%95%E3%81%A8%E3%81%99%E3%82%8B%E5%89%B0%E4%BD%99%E9%A1%9E%E3%81%AE%E6%A7%8B%E9%80%A0
初等整数論/合成数を法とする剰余類の構造
素数を法とする場合、原始根が存在して、すべての既約剰余類が原始根の累乗によりあらわされることを先に見た。合成数を法としたとき、既約剰余類はどのような構造を持つだろうか。
目次
1 素数の冪を法とする場合
1.1 定理 2.5.1
1.2 定理 2.5.2
1.3 定理 2.5.3
2 一般の場合
2.1 定理 2.5.4
素数の冪を法とする場合
中国の剰余定理から、素数の冪を法とする場合に還元できるので、まず、素数の冪を法とする場合を考える。

実は、奇素数の冪を法とする場合には素数を法とする場合同様、原始根に相当するものが存在し、すべての既約剰余類が原始根の累乗によりあらわされることがわかる。ところが2の冪を法とする場合は、幾分複雑である。というのは
8=2^{3}} に対して
3^2 ≡ 5^2≡ 7^2≡ 1 {mod 8} となるからである。
8 を法とした既約剰余系の乗法は以下の構造を持つ。
略
したがって 2^e(e=>3) を法とする既約剰余類は1つの剰余類の累乗だけで表すことができない。

https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_root_modulo_n
Primitive root modulo n
https://qiita.com/tommyecguitar/items/79de16cd3474bb699235
コスタス配列とはどんなものか -  MATLAB
2019/11/09
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/857

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