純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

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673: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/12(木) 00:01:38.17 ID:x7NPo+If

>>465 より再録
http://www1.kcn.ne.jp/~mkamei/math/11th_root.pdf
1 の n 乗根の巾根表示
-n = 11, 13, 7-
2014.12.27 M.Kamei
P9
§ 10 C に埋め込んでの数値計算
ξ = exp^2πi/55= cos2π/55+ isin2π/55とおく．
ζ = ξ^5, η = ξ^11 である．
(引用終り)

1）”1の11乗根のべき根表示には、クンマー理論から1の5乗根が必要で
　そのために、1の55乗根（55＝5・11）に埋め込んで
　計算している
　これは、数学ではよく使われる手で、高次元に埋め込む手法”>>465
　までは書いた
2）さらに考えると、>>642 >>649 より
　x^5 - β^5 = 0 の解であり、β^5 ∈ F（β はその元の 5 乗根として巾根表示される）
　これは、クロネッカー・ウェーバーの定理（下記）の実例と見ることもできるね
3）つまり、クロネッカー・ウェーバーの定理は、円分体の表現能力が結構高い！ってことで
　β^5 ∈ F（＝Q(ζ5)）になるし
　β∈Q(ζ55)
　とも できるってことなんだ

1 の 11 乗根の巾根表示 は、クロネッカー・ウェーバーの定理の良い実例だね！

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体
アーベル拡大体の埋め込み
詳細は「クロネッカー・ウェーバーの定理」を参照
クロネッカー＝ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber's theorem)

K を有理数体上のアーベル拡大体としたとき、ある整数 m＞＝ 3 が存在して、
K⊂ Q(ζm) 。
例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、クロネッカー＝ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。

クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/673

773: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2023/01/15(日) 15:53:06.17 ID:fdSQKtbP

>>436
　前スレより
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/417
種を明かすと>>372の方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。
その解法にはζ_5が必要だが
最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。
(引用終り)

戻るよ
纏めると
１）上記の方程式の根をα1,α2,α3,α4,α5 として
　最小分解体 Q(α1,α2,α3,α4,α5)だが、上記よりQ(cos(2kπ/11))に等しい
　また、1の11乗根ζ11＝cos(2π/11)+i sin(2π/11)として
　Q(α1,α2,α3,α4,α5)＝Q(cos(2π/11))=Q(ζ11 + 1/ζ11)⊂ Q(ζ11)⊂Q(ζ44)
２）ベキ根表示には、ζ_5が必要で
　Q(ζ11)⊂Q(ζ_5,ζ11)⊂Q(ζ55) (多分 Q(ζ_5,ζ11)＝Q(ζ55) >>736のCyclotomic fields Proposition 2より )
３）Q(ζ55)には、虚数単位iは含まれない>>761
　因子4を含むQ(ζ220)には、虚数単位iは含まれる
　だから、実数のsin(2π/11)のベキ根表示は、Q(ζ220)には含まれるが、Q(ζ55)には含まれない
　なお虚数で i sin(2π/11)∈Q(ζ55)は 成り立つ>>761

これ
なかなか面白い問題だったね

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E8%A7%A3%E4%BD%93
与えられた多項式の分解体（ぶんかいたい、英: splitting field）とは、その多項式を一次式の積に因数分解 (splitting) できるような係数体の拡大体を言う。特にそのような拡大体のうち拡大次数（英語版）が最小となる最小分解体 (smallest splitting field) は多項式に対して同型を除いて一意に定まるため、最小分解体のことを指して単に分解体と呼ぶことも多い。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/773

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