純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
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34: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2022/12/23(金) 14:38:35.07 ID:QNRnWOpa

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前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/832
より
(参考)
https://mathlog.info/articles/3161
Mathlog
子葉
1の冪根をたくさん求めてみた(解説付き)
目次
はじめに
解説
nが合成数のとき
n=3,5,7のとき
n=11のとき
n=13のとき
n=17のとき
n=19のとき
原理的なところ
おわりに
参考文献
解説
n=11のとき
cos(2π/11)＝1/10{-1+(α++)^1/5+(α-+)^1/5+(α--)^1/5+(α+-)^1/5}
(α±±＝-1/14{89+-25(5^1/5)±(410-+178√5i)^1/5}
(引用終り)
注）
・α±±＝は、前の±が右辺の式の+-に相当（原文では赤文字）、後の±が右辺の式の±に相当（原文では青文字）
　（すぐ上の式の4通り、α++、α-+、α--、α+- を表現している）
・410+178√5i ＝r(cosφ+isinφ)と極形式にすると
　410-178√5i ＝r(cosφ-isinφ)で
（410+178√5i)^1/5 ＝r'(cosφ/5+isinφ/5)
（410-178√5i)^1/5 ＝r'(cosφ/5-isinφ/5)
（r'＝r^1/5）
　となるので、虚部は+-で消えて、全体として実部のみ残ることが分かる

さて、（410+178√5i)^1/5 の部分に、1の5乗根ζの成分が、多分積の形で入っていると思われる
（クンマー拡大＆クンマー理論からね）
（手計算でやる気はしない（東大受験生クラスなら、ひょっとしてやれるかもｗ。ガウスなら喜々としてやるだろうｗ））
（いまエクセル計算で、r^2＝326520と出るので、これと5^1/5の両方に関係する数かも(添加するaは、ただ一つだから)）

なので、
cos(2π/11)＝1/10{-1+(α++)^1/5+(α-+)^1/5+(α--)^1/5+(α+-)^1/5}
(α±±＝-1/14{89+-25(5^1/5)±(410-+178√5i)^1/5}
が、位数5の巡回群によるクンマー拡大になっていることが計算でも示せて
α±±たちから、クンマー拡大Q(a^1/5,ζ)として、a∈Qなるaの値が求められそうだと

つまり、言いたかったのは、
上記のcos(2π/11)の表式から、ζ（の添加）を使って
クンマー拡大のa^1/5が、具体的に求められるだろうってことです
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/34

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