微分形式 (730ﾚｽ)
上下前次1-新
372: 2023/08/17(木)18:10 ID:jHaGpGqP(1) AAS
Forstnericの本によくまとまっていると思ったが
最近になって新たに面白い展開があり
スロベニアとオスロではその話題で盛り上がっていたらしい
373(1): 2023/08/17(木)21:08 ID:43UpJy3d(1/2) AAS
>>371
Forstnericの本はStein多様体上のホモトピー原理だが
岡の定理が成り立つ複素多様体はStein多様体とは
限らない。
Stein多様体上のStein束で全空間がSteinでないものが
いくつかしられているが
その中には岡の原理が成り立つものがある。
省2
374: 2023/08/17(木)23:19 ID:43UpJy3d(2/2) AAS
372と373は岡の原理の話
多様体上の岡・カルタン理論であれば
擬凸なケーラー多様体上での
拡張定理にごく最近
目覚ましい進展があったようだ
375: 2023/08/20(日)07:27 ID:1rwpBP/2(1) AAS
多重種数の変形不変性は
ケーラー多様体論の主要な
未解決問題の一つ
376: 2023/08/21(月)13:05 ID:83XYnZY3(1) AAS
>>9
面素で
377: 2023/08/21(月)13:25 ID:G8+NOUis(1) AAS
曲面論の理解がまとまれば
リーマン多様体論へと進める
378(1): 2023/08/21(月)18:46 ID:c0d4xiQG(1) AAS
>>373
> Stein多様体上のStein束で全空間がSteinでないものが
> いくつかしられているが
ファイバー束の連接層係数のコホモロジースペクトル系列で
コホモロジーが消えてないことが示せるのだろうか？
379: 2023/08/21(月)18:52 ID:G8AVkjMT(1/3) AAS
高次順像が消えても０次順像は残り
これは連接ではないから
スペクトル列が出てきても
一般論では扱いようがない
380: 2023/08/21(月)21:30 ID:vN1XWZi7(1) AAS
岡の原理と楕円性
外部ﾘﾝｸ[pdf]:kusakabe.github.io
381: 2023/08/21(月)22:11 ID:G8AVkjMT(2/3) AAS
現代数学の12月号から連載開始
382(1): 2023/08/21(月)23:38 ID:G8AVkjMT(3/3) AAS
>>378
とはいえ、2次以上のコホモロジーが消えることは
Stein多様体上のStein束すべてに対して
言えることらしい。
383(1): 2023/08/22(火)16:03 ID:xl52YQCt(1) AAS
>>382
それはカルタンの定理Bとスペクトル系列の一般論だけでは分からないことですか？
384: 2023/08/22(火)18:02 ID:oU3/82VC(1) AAS
>>383
無理、E_2=0までしか分からん
385: 2023/08/23(水)11:07 ID:RW6RpK/N(1) AAS
2-完備性が言えるからだろう
pluripotential theoryは
sheaf theoryより
ずっと深い
386(1): 2023/08/23(水)11:35 ID:5f/KUhJ7(1) AAS
ワイ、スペクトル系列が分からず涙目🥹
387(1): 2023/08/23(水)12:31 ID:BQckRIsb(1) AAS
>>386
商加群の段階的な構成法と
軽く考えておけば十分
簡単な計算例が分かればなおよいが
388: [sag] 2023/08/23(水)20:38 ID:ACFTkuIz(1) AAS
３重以上の多重複体ってないの？
389: 2023/08/24(木)01:32 ID:JopXmR0U(1/3) AAS
すいませんどなたかおしえてください
二次元球面上でベクトルを平行移動させたくてjavascriptでコードを書いてみたんですが
うまくいきません
どこに間違いがあるんでしょうか？
外部ﾘﾝｸ:codepen.io
390: 2023/08/24(木)01:34 ID:JopXmR0U(2/3) AAS
アニメーションではわけわかんない軌道を描いてますが球面状を真っ直ぐ平行移動させたいです
391(1): 2023/08/24(木)15:14 ID:2DDi9SCF(1) AAS
真っ直ぐとはどういう意味か
392: 2023/08/24(木)21:50 ID:JopXmR0U(3/3) AAS
>>391
曲がった二次元平面空間におけるまっすぐです
正しくは大円を描くはずなんですが・・・
393(1): 2023/08/25(金)00:46 ID:oivM+7pp(1/2) AAS
複素多様体M上の正則領域の特徴付けはC^nの場合と同様に出来ますか？
例えば、「複素多様体Mの集合Uが正則領域となるための必要十分条件は、U上のLevi形式ωが正定値となる」は成立しますか？
394(1): 2023/08/25(金)06:24 ID:F7RtDNjY(1/2) AAS
>>393
>>U上のLevi形式ωが正定値となる
M内の相対コンパクトな開集合Uが名C^２級の滑らかな境界を持つとき
境界の定義関数のLevi形式が正定値ならUは強擬凸であるという。
定理(1958 Hans Grauert)強擬凸な開集合は正則領域である。
395: 2023/08/25(金)08:35 ID:F7RtDNjY(2/2) AAS
>>394
>>例えば、「複素多様体Mの集合Uが正則領域となるための必要十分条件は、U上の>>Levi形式ωが正定値となる」は成立しますか？
問題の述べ方が雑なので、それに関連した有名な定理を上にあげた。
Grauertの定理の逆は正しくない。つまりLevi形式が半正定値でも
正則領域になる例はC^n内でも多い。
396(1): 2023/08/25(金)17:46 ID:oivM+7pp(2/2) AAS
レビ形式が正定値になるとケーラー形式になる
397(1): 2023/08/25(金)17:57 ID:m2ieTAkq(1) AAS
中国、日本水産物の加工品禁止 輸入停止に続き
日本鬼子は脅せば簡単アルヨ
398: 2023/08/25(金)19:00 ID:FIlCKI41(1) AAS
>>397
邪魔すんなよなー？数板だぞ
不埒なニュース小僧は出禁だ出禁だ
399: 2023/08/26(土)11:57 ID:enIUOOTt(1/2) AAS
C^n内では境界が実解析的な領域が
完備なケーラー計量を持てば
正則領域であることを1956年に
Grauertが学位論文で示しています。
Grauertの学友であったRemmertによると
この結果はHeinz Hopfをたいへん驚かせたそうです。
400(1): 2023/08/26(土)12:24 ID:zXKWsFfH(1/2) AAS
P^n内ではどうなるの？
401: 2023/08/26(土)12:51 ID:enIUOOTt(2/2) AAS
>>400
当然岡潔はその問題も重要なものと考えた。
そしてそれを弟子たちに学位論文の課題として与えた
最初に答えを出したのが藤田玲子で
これで学位をもらった。
C^nの場合の岡の証明を利用するものだった。
それを見た武内章は岡の証明に用いられた
省7
402: 2023/08/26(土)14:13 ID:zXKWsFfH(2/2) AAS
シュタイン多様体のP^nにおける類似物ってあるんですか？
403: 2023/08/26(土)19:45 ID:0Um029Bj(1) AAS
正則凸多様体
404(1): 2023/08/27(日)12:05 ID:Roo5lH8z(1) AAS
P^nの正則凸多様体や正則函数としてどんな例がありますか？
405: 2023/08/27(日)17:20 ID:FiMBuc59(1/2) AAS
>>396
そうなん？
ケーラー幾何と正則領域って関係あるの？
406: 2023/08/27(日)17:29 ID:FiMBuc59(2/2) AAS
>>404
P^nはコンパクトやから、正則関数は定数しか無い。
コンパクト多様体を考えるなら、その真部分集合やないとね
407(1): 2023/08/28(月)09:00 ID:bWSCE2DX(1/5) AAS
「P^n上の局所擬凸な非コンパクトなリーマン領域はシュタインである」
が藤田の定理。(岡・藤田の定理と呼ぶべきかもしれない)
P^n上の局所擬凸な非コンパクトなリーマン領域上で
フビニ・ストゥディ計量に関する境界距離をδとしたとき
-logδは強擬凸関数になるというのが
武内の定理で
これとグラウエルトの定理を合わせると
省1
408: 2023/08/28(月)09:50 ID:bWSCE2DX(2/5) AAS
一般に、コンパクトなケーラー多様体上の
非コンパクトな局所擬凸リーマン領域に対し、
δ=/=∞の場合には
双正則断面曲率が正である限り
武内の定理と同様な結果が得られる。
しかしながら、シウ・ヤウ・森の定理(フランケル予想の解決)によれば
このような多様体はP^nに限る。
409: 2023/08/28(月)10:06 ID:bWSCE2DX(3/5) AAS
双正則断面曲率が半正のときは
完全には分かっていないが
岡・藤田の定理は上田によりグラスマン多様体上に
拡張された
410: 2023/08/28(月)13:07 ID:AeFGuLbF(1) AAS
P^2内の擬凸領域はシュタインだが
その中に
局所的に両面擬凸なものがあるかどうかは
未解決の有名な難問
411: 2023/08/28(月)15:41 ID:Migaq0fq(1) AAS
多変数函数論を展開するにあたって
P^nというのは、十分に一般的な世界
と考えてしまってもいいのでしょうか
あるいはもっと広い枠組みが必要ですか
412(1): 2023/08/28(月)16:54 ID:/m3blvtZ(1) AAS
解析学を展開するためにはC^nで十分
幾何学を展開するためにはP^nでも足りない
413: 2023/08/28(月)18:37 ID:26Gyv2qG(1/4) AAS
>>407
δは多重劣調和関数なのか？
∂∂‾logδはケーラー形式のように見えるが、、、
414: 2023/08/28(月)18:40 ID:26Gyv2qG(2/4) AAS
C^nに埋め込めるのがシュタイン、
P^nに埋め込めるのが代数多様体。
小平の埋め込み定理は、P^nに埋め込めるための十分条件を与えている。
415(1): 2023/08/28(月)19:30 ID:AJ2iJPHL(1/2) AAS
>>412
P^nでも足りない、というのはどのように
考えればいいですか、初学者な者ですから
416: 2023/08/28(月)20:48 ID:bWSCE2DX(4/5) AAS
>>415
K3曲面とか
417(1): 2023/08/28(月)21:12 ID:AJ2iJPHL(2/2) AAS
P^nでも足りないK3曲面を埋め込めるような
十分に一般的な空間を考えることは可能ですか
418: 2023/08/28(月)21:39 ID:26Gyv2qG(3/4) AAS
>>417
任意の多様体は十分次元の高いユークリッド空間R^Nに埋め込める
しかし、複素構造を保って埋め込むのは無理(それが出来るのがシュタイン多様体のみ)
419: 2023/08/28(月)21:46 ID:bWSCE2DX(5/5) AAS
それができるのは可分な多様体だけ
420(2): 2023/08/28(月)23:42 ID:26Gyv2qG(4/4) AAS
その時はL2空間に埋め込めば良い
現実問題、可分じゃない多様体を扱うことなんてあるか？
421: 2023/08/29(火)08:41 ID:mhUDh+Tj(1/2) AAS
>>420
1次元複素多様体の可分性を示す二通りの方法を
知っているが
どちらも解析学の至宝であろう
422: 2023/08/29(火)08:43 ID:mhUDh+Tj(2/2) AAS
>>420
C上のL2空間は可分
423: 2023/08/29(火)14:25 ID:lonOCres(1) AAS
なるほど、P^nやC^nにこだわらなくても
もっと大きな空間がいろいろあるわけですね
424: 2023/08/29(火)18:24 ID:dEd9UtIa(1) AAS
領域をベルグマン写像で無限次元射影空間に埋め込んで
Fubini-Study計量を引き戻したものがベルグマン計量
(小林昭七による特徴づけ)
425: 2023/08/30(水)16:20 ID:/VZVAtKX(1) AAS
なんとか有限次元の空間に埋め込むのは無理ですか
426(1): 2023/08/30(水)18:07 ID:gjl33RNk(1) AAS
複素構造やなくて概複素構造を使った岡理論って出来るのかなぁ？
427: 2023/08/30(水)19:17 ID:+/Oz0dhm(1) AAS
>>426
概複素構造だと
結論はかなり弱くなる
例えば
二次元以上の概複素多様体内の強擬凸な領域について
知られていることは
境界が連結であることくらいだ
428: 2023/08/31(木)12:26 ID:bnXvYBIU(1) AAS
二次元の弱擬凸領域で
境界が一点でも強擬凸なら連結であることは
予想されてはいるが未解決
429: 2023/08/31(木)21:23 ID:NzcsU7/S(1) AAS
ケーラー曲面なら正しい
430(1): 2023/08/31(木)23:20 ID:bZmBU0gh(1) AAS
ケーラー曲面は複素構造
ここで概複素構造って言っているのは、複素構造にはならない(積分可能でない)概複素構造の事でしょ
431: 2023/09/01(金)00:05 ID:+N9SJp/S(1/3) AAS
>>430
428からは複素多様体の話に戻っている
単に擬凸領域と言ったときは
複素多様体の局所擬凸な領域を指します
432: 2023/09/01(金)00:07 ID:+N9SJp/S(2/3) AAS
概複素の場合は強擬凸でも
ここまでしかわからないと言った後で
弱擬凸のもっと強い命題を書いてしまった
ケーラーの場合のこの結果によれば
ハルトークㇲ型の拡張定理が成立するので
境界は連結でなければなりません。
433(1): 2023/09/01(金)14:46 ID:chjaNkf9(1) AAS
複素1次元のコーシーの積分表示により留数計算で色々な積分値が計算できたけど、
複素多変数で同じようにして、積分の値が計算出来る例ってあるのでしょうか？
例えば、ガウス積分の値が重積分を使って簡単に計算出来るように、次元をあげることで
計算が可能になる例が留数計算でもあるのか教えて下さい。
434: 2023/09/01(金)19:17 ID:+N9SJp/S(3/3) AAS
知らない
435: 2023/09/02(土)14:55 ID:LFTxVa9y(1) AAS
逆の例だが、ガウス積分は工夫すれば一次元積分の留数のみで計算できる
436: 2023/09/02(土)15:25 ID:9ulump+b(1) AAS
>>433
具体的に計算するのって実は理論より難しかったりする
ζ(3)ですらその値は不明、ζ(5)に至っては無理数かどうかも証明されてない。
留数計算いこう強力な積分計算方法って無いように思う。
437: 2023/09/02(土)19:42 ID:EN6+zEqr(1) AAS
>>ガウス積分は工夫すれば一次元積分の留数のみで計算できる
Remmertの本に書いてある
438: 2023/09/03(日)20:09 ID:TeaDBysG(1/3) AAS
工夫すればとか言い出したら、ガウス積分は留数なんかつかわなくても、1変数の微積分の知識だけ計算できる。
439(1): 2023/09/03(日)20:15 ID:vQUnnjew(1) AAS
これが一番簡単だろ、フレネル積分なら別だが
>ガウス積分の値が重積分を使って簡単に計算出来る
440: 2023/09/03(日)22:08 ID:TeaDBysG(2/3) AAS
>>439
同意
441(3): 2023/09/03(日)22:10 ID:TeaDBysG(3/3) AAS
ζ(2n)の値は留数計算で求められる？
442: 2023/09/04(月)09:04 ID:g7mafiYB(1) AAS
n<0なら０
443(1): 2023/09/04(月)16:58 ID:mbFwqrdJ(1) AAS
>>441
出来るけど式変形に工夫が必要なので簡単ではない
sinの無限積表示を使う方が圧倒的に簡単
444(1): 2023/09/04(月)17:03 ID:BpmQQmYN(1/2) AAS
>>441
単にπcot(πz)/z^(2n)の留数を数えるだけだが……最近は演習でやらないの？
445(1): 2023/09/04(月)19:04 ID:BpmQQmYN(2/2) AAS
>>441 の解答例
z=m∈Z＼{0}でのπcot(πz)/z^(2n)の留数は1/m^(2n)
z=0のときはベルヌーイ数の定義よりπcot(πz)=(1/z)ΣB_{2k}(2iπz)^(2k)/(2k)!
留数和は積分の不等式評価より0だからζ(2n)=-(1/2)B_{2n}(2iπ)^(2n)/(2n)!
>>443
sinの無限積表示からの計算(sinの対数微分がcot)と留数計算はさほど違わない
446: 2023/09/04(月)21:14 ID:iGomIGzs(1) AAS
>>445
なるほど、分かりやすいですね
ありがとう
>>444
私の時はやった記憶がない
多分、担当の先生の差(趣味)の方が大きい気がする
もちろんディリクレ積分や、フレネル積分は講義の例題でやって、演出は似たケースやテクニカルな場合をやったかな
447: 2023/09/08(金)23:17 ID:eijxUioQ(1) AAS
>>387
スペクトル系列を勉強するのに良い本は何ですか？
特にファイバー束のスペクトル系列で十分です。
448: 2023/09/09(土)06:13 ID:YIKJbUrb(1) AAS
Homologie singulier des espaces fibrees
449: 2023/09/09(土)16:56 ID:K2IWNmXD(1/3) AAS
そんな難しい本読まんでも、Bott-Tuで十分やろ
しかも訳本もあるし
450: 2023/09/09(土)17:22 ID:Tha7L5dg(1/3) AAS
オリジナルの香気が味わえる
451: 2023/09/09(土)17:32 ID:LBJZ/ds5(1) AAS
オリジナルならルレーでないかい
もっとも俺はグロタンの東北ざっと見して分かった気がした
452(1): 2023/09/09(土)17:37 ID:kJQNx/wt(1/2) AAS
FAQ
訳本の日本がおかしい
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