微分形式 (730ﾚｽ)
上下前次1-新
167: 2022/12/23(金)13:58 ID:0t7NOGX0(3/6) AAS
Hodge予想
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
168: 2022/12/23(金)14:07 ID:ug8NJUkz(3/3) AAS
>>166
そうか間違えた、Hodge予想のほうがGAGAより先だね
けど、Hodge予想もGAGA的な現象なのかもしれない
169: 2022/12/23(金)14:17 ID:0t7NOGX0(4/6) AAS
着想の原点はLefschetzの超平面定理(1924年)だろう
ド・ラームの定理より前
170(1): 2022/12/23(金)14:39 ID:t8Xe5Ug0(2/2) AAS
GAGA的な現象の走りは
1939年の「岡の原理」
171: 2022/12/23(金)15:18 ID:0t7NOGX0(5/6) AAS
Hodge分解の基礎からHodge予想まで書いてある本では次が有名かな
C.Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, I,
Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 76, (2002)
C.Voisin, Hodge theory and complex algebraic geometry II,
Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 77, (2003)
172(1): 2022/12/23(金)15:19 ID:0t7NOGX0(6/6) AAS
>>170
Hodgeによる調和積分論が先じゃないか（証明に不備があったにせよ）
173: 2022/12/23(金)18:44 ID:6xFNalbd(2/2) AAS
>>172
調和積分論と岡の原理は
互いに独立な理論
174(1): 2022/12/25(日)15:51 ID:O2DsbGsM(1/3) AAS
両方ともポアンカレが元ネタ
175(2): 2022/12/25(日)17:33 ID:hpar9BDb(1/2) AAS
岡の原理って、シュタイン多様体なら連接層のコホモロジーが消えるってやつ？
それならポアンカレの補題の発展版だよね
176: 2022/12/25(日)17:37 ID:O2DsbGsM(2/3) AAS
>>175
無茶苦茶言うな
177: 2022/12/25(日)17:44 ID:O2DsbGsM(3/3) AAS
岡の原理は岡多様体
178: 2022/12/25(日)17:56 ID:hpar9BDb(2/2) AAS
>>175
あれ？違ったか
岡の原理ってなんだっけ？
179: 2022/12/25(日)19:17 ID:laueymQR(1) AAS
岡の原理とは複素解析におけるホモトピー原理のことである. より厳密には, Stein 多様体 X に対して X 上のあるクラスの解析的対象と位相的対象 (例えば正則ベクトル束の正則切断と連続切断) を考えたときに包含写像
{ X 上の解析的対象 } ,→ { X 上の位相的対象 }
が弱同値になるということである. 標語的に「Stein 多様体上の解析的な問題には位相的な障害しかない」ことが岡の原理であるとも言うことができる. この原理は 1939 年の岡の第 III 論文 に端を発し, Grauert, Gromov, Forstneriˇc らによって岡多様体の理論へと発展した.
180(1): [sag] 2022/12/27(火)18:37 ID:DqiOvLqN(1/2) AAS
微分形式ｄｘから測度ｄｘが定まる
181: 2022/12/27(火)19:36 ID:VRfHkim5(1) AAS
無限次元では？
182(1): 2022/12/27(火)22:25 ID:DqiOvLqN(2/2) AAS
無限次元でも適当な条件のもと
微分形式DXから測度DXが定まる
183: 2022/12/27(火)23:15 ID:mb8Zr6YW(1) AAS
>>182
ソースは？
184(2): 2022/12/28(水)20:08 ID:nMJlPXtz(1) AAS
>>180
微分形式に条件が必要
185(1): 2022/12/29(木)09:27 ID:af4qdYBg(1) AAS
>>184
微分形式dxと言った時点でuniqueでは？
186: 2022/12/29(木)12:48 ID:bPC3Lvoh(1/2) AAS
>>185
1次元の話をしているのか？
1次元じゃ微分形式を使うメリットはない
高次元の多様体で初めて効果を発揮する
187(4): 2022/12/29(木)15:03 ID:bPC3Lvoh(2/2) AAS
>>2
> ω=dx∧dy + dy∧dz + dz∧dx これは何を表しているんだ？
この問いに誰も答えていない
188: 2022/12/29(木)16:05 ID:XpWEA4Gy(1) AAS
とりあえず3変数の非退化2次形式
189(2): 2022/12/29(木)18:35 ID:WKSV+QcM(1/2) AAS
微分形式はクリフォード代数から生まれる
クリフォード代数の特別な場合が微分形式
だから、測度もクリフォード代数が起源と言える
190(1): 2022/12/29(木)19:03 ID:rt/HU/FA(1) AAS
>>187
物理でなんか名前がついていたと思うが、忘れた
物理的には色々意味があるらしいが、数学では単なる2-形式としか見なされない
191(2): 2022/12/29(木)22:19 ID:/WNYC9KJ(1/3) AAS
>>189
でもクリフォード代数は次数付け(Z-grading)が出来ないから、
微分形式の理論をすべて含んでるわけでは無い
192: 2022/12/29(木)22:21 ID:/WNYC9KJ(2/3) AAS
クリフォード代数は±のZ_2-gradingしか出来ない
193(5): 2022/12/29(木)22:26 ID:WKSV+QcM(2/2) AAS
>>191
含んでるよ
194: 2022/12/29(木)23:15 ID:/WNYC9KJ(3/3) AAS
>>193
では、クリフォード代数にどの様にZ-gradingを入れるのか示してくれ
195(1): 2022/12/30(金)01:24 ID:E1yCPLOa(1/4) AAS
クリフォード代数も普通の微分形式の空間もものとしては2ⁿ次元ベクトル空間じゃないの？
代数束としての積の構造が違うだけで
逆にいうと積の構造が違うんだから外積代数はクリフォード代数の一部というのはちょっと誤解を生むな
クリフォード代数は交換関係にその空間の計量を使って積を定義する
なので底空間ぎ同じでも計量が違えば一般には代数束としては別の物ができる
計量として退化してる物も許して<ω,η>=0 (∀ω,η)をとったらその内積で作ったクリフォード代数は外積代数になる
だったような
196(1): 2022/12/30(金)02:05 ID:9pT5k1Z3(1/4) AAS
>>193>>195
理解が甘い
全体の空間が同型でも、次数まで込めて同型では無いから(DGAとしては同型でない)。
微分形式はZ-次数付け出来るが、クリフォード代数はZ_2-次数付けしか出来ない。
wikipedia
クリフォード代数
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.orgクリフォード代数
197(1): 2022/12/30(金)02:16 ID:E1yCPLOa(2/4) AAS
>>196
それ反交換関係入れなければでしょ？
当然ここでいう“微分形式”は反交換関係入れて2ⁿ次元の束の話でしょ？
大体そんな事言い出したら交換関係一切いれずに自由テンソル場でアルファベットn文字のワードでグレーディングされるクソでかい束でもできますがな
198(1): 2022/12/30(金)02:21 ID:E1yCPLOa(3/4) AAS
おっと撤回
グレーディングとして自然なのはせいぜいℤまでやな
ただし交換関係を入れても入れなくてもℤ gradeになるけどものは違うよな？
そんな話してなくね？
199: 2022/12/30(金)02:25 ID:9pT5k1Z3(2/4) AAS
>>197
クリフォード代数は、DGA(Differential graded Algebra)にならない。
当然、微分形式もクリフォード代数もどちらも積構造を考えている。
クリフォード代数の関係式で、2つのベクトルのクリフォード積がスカラーに落ちる(次数を保たない)のが原因。
これ以上は専門書を見てくれて。
200(1): 2022/12/30(金)02:27 ID:9pT5k1Z3(3/4) AAS
>>198
>>191はお前じゃ無かったのか？
クリフォード代数が、微分形式も含んでいるというから、
それは違うと指摘したまで。
201: 2022/12/30(金)02:29 ID:9pT5k1Z3(4/4) AAS
>>200
アンカーミス
正しくは
>>189>>193はお前じゃ無かったのか？
クリフォード代数が、微分形式も含んでいるというから、
それは違うと指摘したまで。
202(1): 2022/12/30(金)07:58 ID:E1yCPLOa(4/4) AAS
オレは>>193じゃないけど>>193の言うところの“含む”は「内積が0の場合にクリフォード代数は外積代数になる」つて話じゃないの？
203: 193 2022/12/30(金)17:54 ID:6rU2Z0TY(1) AAS
クリフォード代数は偉大だよ
やろうと思えば微分形式をすべて説明できる
けど、通常はそんなことしないだけのはなし
回りくどくてわかりにくくなるだけだから
204(1): 2022/12/31(土)11:44 ID:iWMdvYHx(1) AAS
>>190
ベクトル場の回転かな
回転っていっても静的な物で、流れの変化率だけど
205: 2022/12/31(土)11:51 ID:qHNAmLcY(1) AAS
>>204
底空間の各点に対する変化率ね
206(2): 2023/01/08(日)22:37 ID:+74BXUKJ(1) AAS
dxを無限小という人があるが本当か？
そもそも無限小って数学に必要かい？
207: 2023/01/09(月)01:00 ID:l/SgpgpA(1/2) AAS
そんなもんに正しいもクソもない
もちろん「無限小"infiniticimal"と見なすこともできる」と言う理論もある
しかしこのスレでも既出の“微分形式と解釈する”考えとは相容れない
じゃあ結局何を“デフォルト”とするのと言う話でしかない、もちろん現代数学の一般的な教程ではまずは“微分形式としての解釈を理解する”と言うのがまぁ大勢
208: 2023/01/09(月)07:28 ID:4JDol5oY(1) AAS
無限小というより
二度微分すると消えるランダウ記法とか
幾何学的双対的に余接空間とか
そっちのほうに力点おいた方がよくね？
209: 2023/01/09(月)10:51 ID:l/SgpgpA(2/2) AAS
こんな学部レベルの勉強の話は“俺様定義”じゃなくて、まず一般的な数学の教程で第一義に数えられるものから順に勉強してけばいいんだよ
無限小解析とかやりたいならやってもいいけど、それもこれもまずは普通に微分形式、微分幾何勉強し終わった後でやればいい
受験数学でよく出てくる“計算法”
d( sin(x³) ) = 3x²cos( x³ )dx
を単なる便法と考えるならそれで終わりでいいし、そこに何か意味を見出そうとするなら、まずは微分幾何やろ
もちろんそれが最も現代数学で応用の広い豊かな世界に繋がってるんだから
まぁ「俺様無人の荒野を行く」のがいいならそうすればいいけど
210(1): 2023/01/09(月)15:24 ID:ZL5DGfOq(1) AAS
>>206
無限小はΔxかδxだろ
物理の人は良く使う
211: 2023/01/10(火)14:41 ID:D11EXlFu(1) AAS
>>206>>210
それと微分形式は全然別物
その考えでは線形和 dx∧dy + dy∧dz + dz∧dx はどう理解するんだ？
212: 2023/01/11(水)15:34 ID:buL0BLV/(1) AAS
言葉足らずだった
δxとかの無限小はあくまで無限小のイメージであって
微分のdxとは全く違う使い方をする
物理の講義ではわざとごっちゃにしたりするのかも
大学一年の電磁気でガウスの発散定理とストロークスの定理をやらされたがそのときは誤魔化された
213: 2023/01/12(木)13:12 ID:uSD5NueJ(1) AAS
ある種の微分形式はディラック・スピノルとよばれるが
そのスピノルからなる空間にクリフォード代数は作用する
微分形式の空間はクリフォード代数の表現というわけだ
214: 2023/01/16(月)19:34 ID:Mfj6HscI(1) AAS
数学の大家、佐藤幹夫さん死去 94歳 「佐藤超関数」など理論示す
外部ﾘﾝｸ:news.yahoo.co.jp
「数学の大家」として知られ、関数を極限まで一般化した「佐藤超関数」などの理論を示した
京都大名誉教授の佐藤幹夫（さとう・みきお）さんが9日、老衰のため死去した。94歳だった。
葬儀は近親者で営まれた。喪主は長男信夫さん。
1928年、東京に生まれた。東京大卒業後、大阪大教授、東京大教授、京大数理解析研究所教授、
同所長などを歴任した。
省4
215(2): [sag] 2023/01/18(水)16:21 ID:kCBkO4yb(1) AAS
dx∧dyなどは、向きを持った無限小同士の外積と考えればいい
216(1): 2023/01/18(水)20:52 ID:GVrhidla(1) AAS
>>215
クリフォード代数はプラスマイナスゼロの代数
符号を持ったゼロの代数。
217(3): 2023/01/19(木)00:18 ID:Hg3Prz2/(1) AAS
電磁気の理論において、場の強さをあらわす2-形式Fは
マックスウェルの方程式によりdF＝０を満たしている
つまりこの2-形式は閉じているというわけだから、ある
1-形式Aによって、F＝dAという形に書けるであろう
我々は1-形式Aをゲージポテンシャルなどとよんでいる
218: 2023/01/19(木)01:53 ID:9iPpyJu8(1) AAS
ベクトルポテンシャルだろ
219: 2023/01/19(木)07:44 ID:VCsBMaCI(1) AAS
>>215-217
表裏がある境界
220: 2023/01/19(木)17:45 ID:QU4kCMAF(1/2) AAS
1950年代にヤンとミルズは、電磁気の理論を2成分を持つ
波動関数によって表される核子の場へ理論を一般化した
そこでもやはりゲージポテンシャルの1-形式Bが活躍する
D=∂+igBとおくと、その交換子［D,D］は＝(ig)Fであり
場の強さを表し、Dは一般化された共変微分となっている
221: 2023/01/19(木)22:43 ID:QU4kCMAF(2/2) AAS
上で、(ig)Fのところ正しくは(-ig)F
マイナス符号が抜けてたので訂正する
222(2): 2023/01/20(金)01:09 ID:N/pxrwQ8(1) AAS
>>217
数学ではAは接続1-形式、Fは曲率2-形式に相当する
ちなみに、dF=0 はビアンキの恒等式と呼ばれている。
223: 2023/01/24(火)01:47 ID:tsutDPmj(1) AAS
>>222
へぇ〜それは知らなかった
数学の本ではそんな説明無いからなあ
224: 2023/01/24(火)09:59 ID:R+BeihEu(1) AAS
ビアンキを米国人は梅安記と呼ぶ
225: 2023/01/29(日)16:12 ID:io8VUDqx(1/2) AAS
複素解析学特論
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ms.u-tokyo.ac.jp
226: 2023/01/29(日)16:13 ID:io8VUDqx(2/2) AAS
>>222
3-形式は物理的に何を意味しているの？
227: 2023/02/07(火)03:22 ID:ERCLl8A7(1) AAS
超弦理論に出てくるD-ブレーンというのを微分形式で記述出来るそうだ
228: 2023/02/08(水)02:18 ID:jt7fPU+P(1) AAS
dωのdは双対境界写像でしょ？
じゃあdx∧dyのdはなんなんだろう
dxが1形式なのでxは0形式
ある点の局所近傍に対応付けられたR^n上のうちある一つの成分についてφ(x)=∂[a,b]={a}∪{b} (a,b∈R)ならφ(dx)は[a,b]
dx=φ*([a,b])といったところかな？
局所近傍ゆえの無限小っぽさはある
229: 2023/02/08(水)02:19 ID:CWDZB5GA(1) AAS
はい
230(1): 2023/02/08(水)06:25 ID:tQDGIJEE(1) AAS
圏論的？
231(1): 2023/02/09(木)22:41 ID:CS4LdbzO(1) AAS
Xが完備ケーラーなら、L^2調和な(p,0)形式は正則である
ケーラーで無い場合は？
232: 2023/02/09(木)22:56 ID:IHBT6Jl6(1) AAS
証明は完備かつケーラーの場合しか知らない
233(2): 2023/02/10(金)09:48 ID:TLtLyVEx(1) AAS
コンパクトなケーラー多様体上の
調和形式の(p,0)成分は正則になる。
ホップ曲面上の任意のエルミート計量に対し、
0でない実調和1形式の
(1,0)成分は正則ではない。
234: 2023/02/10(金)14:15 ID:j+TfyzvY(1) AAS
>>233
サンクス
235: 2023/02/10(金)17:04 ID:vIdvZOAj(1) AAS
>>187
え？微分形式でしょ
236: 2023/02/11(土)15:19 ID:vhbHL1HH(1) AAS
>>233
ケーラーの場合 △ =2□ が成り立つため、調和性 △ω=0から □ω=0が従い、
完備性から ∂ω=0, ∂‾ω=0 が従うので、正則となる。
しかし，ケーラーでない場合は、 △ =2□ とは限らない。
237: 2023/02/13(月)13:19 ID:XfvYwo7U(1) AAS
>>231
コンパクトでRicci flatはケーラー多様体上の調和(p,0)-形式は平行(定数形式)である。
238(1): 2023/02/13(月)17:10 ID:rHAI4VfQ(1) AAS
(1/2,0)-形式とか(-1/2,0)-形式の場合はどうなるか
239: 2023/02/14(火)14:40 ID:U6zPaZsc(1/2) AAS
>>238
そもそも 1/2-form dx^(1/2)や-1/2-form dx^(-1/2)の定義は？
240(1): 2023/02/14(火)14:44 ID:iLM43Jn9(1) AAS
それは変換関数系の分数べきが意味を持てば
自然に定義できる
241: 2023/02/14(火)15:36 ID:U6zPaZsc(2/2) AAS
具体的に1次元ユークリッド空間Rのとき、dx^(1/2) って何？
242: 2023/02/14(火)19:46 ID:dF+0yQ/M(1) AAS
>>240
交代性はどうすんの？
例えば、dx^(1/2) ∧ dx^(1/2) は0か、それとも指数法則で dx か？
テンソル積と違い交代性があるから、単純に変換関数だけでは処理できないのでは？
標準束のルート束もベクトル束ではなく、K群の元としてしか意味持たないし
243: 2023/02/14(火)21:31 ID:feBbhNmb(1/2) AAS
>>交代性はどうすんの？
ベクトル空間の外積をあてはめるだけ
一般のベクトル束の外積と同様
244(1): 2023/02/14(火)21:37 ID:5CVs0lXQ(1) AAS
一般の複素数ｃに対して
(c,0)形式というものが考えられるらしい
245: 2023/02/14(火)21:38 ID:feBbhNmb(2/2) AAS
>>244
ソースは？
246(1): 2023/02/15(水)17:56 ID:d237uh+Z(1) AAS
確率微分方程式で√dtみたいな形を見たことがあるが
あれは正規分布の標準偏差が√dtだからって理由で
微分形式と一緒にしていいものなのか分からない
一応確率の組み合わせという文脈で掛け算も出来た筈だが
247: 2023/02/15(水)19:18 ID:rEpklfRi(1) AAS
>>246
確率過程だと (dW_t)^2 = dt とかそういうのがあるからでは？
（この二乗はどういう積なんだっけ、ウェッジ？）
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