微分形式 (730ﾚｽ)
上下前次1-新
86(1): 2022/11/28(月)09:17 ID:1DWIax2H(1) AAS
>>85
>>84の文章のどこにカギ括弧つきの「捻る」が付いているのか？
お前の目が悪いだけだろ
87: 2022/11/28(月)12:01 ID:hskfJ+20(1) AAS
ワロタ
保型形式のスレあったほうがいいな
88: 2022/11/28(月)15:23 ID:3iytGQo2(2/2) AAS
>>86
ここのレスに限定した話ではなく
一般に数学や物理のPDFで「捻れ」てるにカギ括弧付けてる場合が多く見られる。
なんかこのスレでムキムキしてる誰かさんみたいな粗探しではなくこっちは疑問として提示してる。
89: 2022/12/03(土)01:49 ID:VH2rKI2y(1) AAS
H"olmanderのL2理論の成功により、微分形式の解析が一気に広まったね
90: 2022/12/03(土)06:37 ID:qJ9san2u(1/4) AAS
H"olmander--->Kodaira-H"ormander-
91(1): 2022/12/03(土)06:48 ID:qJ9san2u(2/4) AAS
訂正
Kodaira-H"ormander-
ー−−＞
Bochner-Kodaira-Andreotti-Vesentini-Kohn-H"ormander
92: 2022/12/03(土)08:00 ID:AznH32Xs(1) AAS
>>91
おいおい、Hodgeを抜かすのかよｗ
微分形式の解析はHodgeの調和積分論（完全な証明は小平による）によって大きく発展を遂げた
93: 2022/12/03(土)08:04 ID:qJ9san2u(3/4) AAS
じゃ
Riemann-Hilbert-Weyl-Hodge-Bpochner-Kodaira-・・・
94: 2022/12/03(土)08:05 ID:qJ9san2u(4/4) AAS
訂正
Bpochner--->Bochner
95: 2022/12/04(日)00:33 ID:74LPh/8J(1) AAS
H"ormander以降はどうなの？
96: 2022/12/04(日)22:05 ID:N2JNDSvZ(1) AAS
>>H"ormander以降はどうなの？
H"ormander(65)-Skoda(72)-Fefferman(74)-・・・
97: 2022/12/05(月)12:34 ID:36HivrxM(1) AAS
Skoda以後とFefferman以後は分かれる。
98(1): 2022/12/06(火)00:15 ID:EkknZKl9(1) AAS
Donaldoson理論も接続1-formに対する、微分形式の解析だね
99(1): 2022/12/07(水)15:58 ID:aowQjg+r(1) AAS
>>98
なるほど
微分形式で非線形解析を行っている研究って他にある？
K"ahler-Einsteinは非線形だけど、K"ahlerポテンシャルの関数についての議論に帰着されるから、
微分形式の非線形解析ではないからね
100(1): 2022/12/07(水)18:25 ID:GL6vFCAQ(1) AAS
>>99
Siuのglobal rigidity
101: 2022/12/08(木)08:24 ID:xpFZils6(1/3) AAS
トラクターカルキュラスなども非線形
ペンローズの系統に近い
102(1): 2022/12/08(木)19:29 ID:2E9fCkcn(1) AAS
>>100
それって調和写像を使ったケーラー多様体の同型を示す定理だっけ？
そう言えば、最近調和写像の研究ってどうなの？
全然聞かないんだけど
103: 2022/12/08(木)20:58 ID:xpFZils6(2/3) AAS
Siuの続きはWikipediaによれば
Kevin Corlette found a significant extension of Siu's Bochner formula, and used it to prove new rigidity theorems for lattices in certain Lie groups.[32] Following this, Mikhael Gromov and Richard Schoen extended much of the theory of harmonic maps to allow (N, h) to be replaced by a metric space.[33] By an extension of the Eells−Sampson theorem together with an extension of the Siu–Corlette Bochner formula, they were able to prove new rigidity theorems for lattices.
このCorletteの仕事とDonaldsonの同時期の仕事が１１月に金沢であった研究集会の講演で引用されていた。詳しくは浅学非才ゆえ解説できないが。
104: 2022/12/08(木)22:17 ID:xpFZils6(3/3) AAS
この他に、比較的最近Sampsonの研究の続きがあったが
論文の著者名を忘れた。
105(1): 2022/12/08(木)23:31 ID:ZHzx5ZIt(1) AAS
>>102
Y-T, Siu, The complex-analyticity of harmonic maps and the strong rigidity of compact Kahler manifolds.
Ann. of Math. (2) 112 (1980), no. 1, 73?111.
Yauの予想「2つの負曲率のコンパクトケーラー多様体が同じホモトピー型であれば、それらは正則か反正則同型であろう」
を曲率の仮定を少し強めて証明した。
手法は調和写像に対するBochner techniqueを使う。
106: 2022/12/09(金)08:58 ID:lK+WckRr(1/4) AAS
近年はそれがuniformizationの問題に応用されている。
107: 2022/12/09(金)15:40 ID:8Dl9uL1L(1) AAS
例えばR上で、ルベーグ測度と微分形式はなぜ一致するのか？
測度と1-形式の概念は全く異なるものだと思うんだが
108(2): 2022/12/09(金)18:09 ID:lFMdnum3(1) AAS
>>105
n次ホモトピー群の代表元を、調和写像に選べるか？という Hodge理論の写像版の問題の研究とも関係ある
一般にはダメだけど、どこまで出来るのかも完全に解決はしてないはず
109(1): 2022/12/09(金)18:19 ID:pZ+cIqKL(1/2) AAS
>>例えばR上で、ルベーグ測度と微分形式はなぜ一致するのか？
>>測度と1-形式の概念は全く異なるものだと思うんだが
一致しない
110: 2022/12/09(金)18:21 ID:pZ+cIqKL(2/2) AAS
>>108
Siuはglobal rigidityに調和写像を使ったのは
学位論文でHodge予想を解こうとして失敗したときの経験から
111(1): 2022/12/09(金)18:58 ID:j65XAkcz(1) AAS
もっとカレントの理論とかそっちなスレにするかと思ったが。
112(1): 2022/12/09(金)19:13 ID:lK+WckRr(2/4) AAS
今日見た雑誌には
nonlinear Dirichlet problem
の論文があったが、内容は微分形式。
113: 2022/12/09(金)21:39 ID:lK+WckRr(3/4) AAS
>>111
昨日の講演の中に
positive currentに対して
Lelong nummberを拡張する話があった。
114: 2022/12/09(金)21:47 ID:lK+WckRr(4/4) AAS
訂正
nummber-->number
115: 2022/12/09(金)23:30 ID:0A5cT9bL(1) AAS
>>109
どちらもdxではないのか？
116: 2022/12/10(土)09:04 ID:DV2XUKqW(1/2) AAS
片方は接ベクトル空間上の関数で
他方は単に記号の節約の意味でdxを使っている。
117: 2022/12/10(土)16:52 ID:ccRtBtui(1/2) AAS
両者の関係はどうなっているのか？
118: 2022/12/10(土)21:14 ID:DV2XUKqW(2/2) AAS
少なくとも同一ではない
119(2): 2022/12/10(土)22:21 ID:TwVrWWrD(1/3) AAS
余接ベクトルと測度が同じとか意味分からん
概念として全然違うもの
120(1): 2022/12/10(土)22:23 ID:TwVrWWrD(2/3) AAS
>>112
何の研究集会
もし良ければホームページのリンクを貼ってくれるとありがたい
121: 2022/12/10(土)22:27 ID:TwVrWWrD(3/3) AAS
>>108
Eells-Sampsonのheat flowによる調和写像の存在がきっかけとなり進展した
調和写像の微分は"非線形微分形式"ということなのかな
122: 2022/12/10(土)23:49 ID:ccRtBtui(2/2) AAS
>>119
一見すると異なっていても、実は同じだったり
深い関係があるのは数学ではよくあることだろ
123: 2022/12/11(日)09:16 ID:9TtA0IG0(1) AAS
dx dy の意味は？★２
2chｽﾚ:math
124: 2022/12/11(日)10:47 ID:G4G3fajU(1) AAS
>>119
値域で積み上がった「葉層」が測度の正体だと幾何学的直観から見えなくもない。
125(1): 2022/12/11(日)11:49 ID:OqLDUrQ4(1) AAS
>>120
CONFERENCE ON COMPLEX ANALYSIS, COMPLEX GEOMETRY AND DYNAMICS
_in memory of Nessim Sibony_
at the Laboratoire de Mathématiques d'Orsay, Université Paris-Saclay
CONFERENCE WEBSITE: 外部ﾘﾝｸ:sites.google.com
126: 2022/12/11(日)12:54 ID:pWzY7KLw(1) AAS
>>125
ありがとう
127: 2022/12/11(日)22:15 ID:fuZoBKCW(1) AAS
測度と微分形式には深いつながりがあるよ
なぜかほとんどの教科書に書かれていない
128(2): 2022/12/12(月)12:44 ID:ZSex7Wyw(1) AAS
調和積分論の証明まできちんと書いてある良い本は、何がありますか？
129: 2022/12/12(月)13:33 ID:rhV6xRHH(1) AAS
>>128
Demaillyの講義録
130: 2022/12/13(火)12:51 ID:3VuaDUk0(1) AAS
>>128
洋書なら沢山あるけど、日本語だと証明まで真面目に書いている本って無いのかも
131: 2022/12/13(火)21:28 ID:utO4JB0Z(1) AAS
秋月康夫の「調和積分論」は
古すぎますか？
132(1): 2022/12/14(水)07:39 ID:HwNAEQvC(1) AAS
北原、河上の「調和積分論」は？
133(1): 2022/12/14(水)09:36 ID:G5iUW+22(1) AAS
本書は大学教養程度の数学の知識、即ち多変数の微積分と線形代数、のみを仮定して「調和積分論」を論じるという大胆な試みの書である。本書で述べられている調和積分論のHodgeの主定理（Hodge-小平の分解定理）の証明は見事であり(*0)、熱核を用いるAtiyah-Singer理論へと読者を誘ってくれることだろう。
本書を読んで感銘をうけるのは、幾何学研究に適用される「変分法の適用範囲の広汎さ」である。私の知識の範囲においても、すぐに以下の理論を挙げることができる。
(1) 大域変分法への適用: Morse理論、調和写像の理論
(2) Gauge理論への適用: 例えば、Yang-Mills理論
(3) 調和積分論への適用: 例えば、de-Rham･Hodge理論 （本書の主題である）
これらのどの一つを取っても、素晴らしく美しい理論である。これらの理論を学べば、幾何学的な対象に適用される変分原理の摩訶不思議な調べに一層魅せられるのではなかろうか。
134: 2022/12/14(水)14:05 ID:zDUTI069(1) AAS
>>133
外部ﾘﾝｸ[html]:natsuyamahanabi.livedoor.blog
135(1): 2022/12/14(水)22:27 ID:2JfTEDyd(1) AAS
>>132
日本語でまともに書いてあるのはこの本くらいですね
証明は熱流の方法を使っているのが特徴だが、解析の基礎(弱解の正則性など)は証明してない
前半が微分幾何の基礎事項にあてているから、どうしても証明をきちんと書くにはページ数が足りない
136(1): 2022/12/14(水)22:32 ID:xGXIuy9C(1) AAS
>>135
熱方程式の場合
非線形になると弱解の正則性をちゃんと書いたものは
英語の文献でもほとんどない
137(1): 2022/12/15(木)10:18 ID:XRNW/Fid(1) AAS
シュワルツ超函数に対応するものとしてカレントがある
わけだけども、佐藤超函数に対応させるとどうなるのか
佐藤超函数のコホモロジーと微分形式のコホモロジーが
合わさったようなものが存在するのだろうか
138(2): 2022/12/15(木)11:15 ID:kLN3C4DZ(1) AAS
カレンとで思い出したけど、ドラームの翻訳本があったね
まあ殆ど手に入らないけど、このシリーズ復刊すれば需要あるんじゃないか
ド・ラーム， 微分多様体 : 微分形式・カレント・調和形式，東京図書 (1974)
139(2): 2022/12/15(木)11:46 ID:itdNU1//(1/3) AAS
>>138
>>このシリーズ復刊すれば需要あるんじゃないか
この本も、ヘルマンダーの本も、復刊されないのには
それなりの理由があるのだろう。
140(1): 2022/12/15(木)14:22 ID:VHHzYaPG(1) AAS
>>137
局所コホモロジーならとうぜん超局所解析で
D加群でも指数定理まで出来上がってるんじゃないの？。
知らんけど
>>139
秋月調和積分論の上巻が思いっきりカレントの理論の話なんだね。
ぜんぜん知らんかったわ。
141: 2022/12/15(木)15:20 ID:SGmCP3qH(1/5) AAS
>>136
非線形は解析の結果を引用するでいいんじゃないか
幾何で問題になるのは大域解の存在だが、それは論文でも結構怪しいのがある
結果的には正しいけど、解析の結果を正しく使えてなかっなり、仮定を全部満たすことをチェックしていないとかはある
142(1): 2022/12/15(木)15:30 ID:SGmCP3qH(2/5) AAS
>>138-139
権利関係かな
でもシュプリンガー(丸善？)は翻訳書を復刊しているし、単純に出版社のやる気かもしれない
東京図書は最近専門書より、教養の教科書レベルしか出してない印書があるんだけど
143: 2022/12/15(木)16:43 ID:iG/nmIhy(1/2) AAS
>>142
読んだことがあればはっきりわかる一つの理由がある
144(1): 2022/12/15(木)18:48 ID:SGmCP3qH(3/5) AAS
誤訳が多いのか？
145(2): 2022/12/15(木)19:02 ID:iG/nmIhy(2/2) AAS
そう。高橋訳は特に。
146: 2022/12/15(木)19:10 ID:SGmCP3qH(4/5) AAS
>>145
おそらく院生にやらせたんだろう
147(1): 2022/12/15(木)19:45 ID:WKhKwhG3(1) AAS
>>144-145
へぇ〜そうなんだ、知らなかったなあ
もっともド・ラームの本なんて難しくて訳が完璧でも読む気は無いけどw
Bott-Tuを訳した三村も訳が酷かったなあ
昔の教授は院生をこき使ってたいたというからね
148(1): 2022/12/15(木)21:05 ID:itdNU1//(2/3) AAS
>>147
>>ド・ラームの本なんて難しくて訳が完璧でも読む気は無いけどw
>ド・ラームの本の続編にあたるヴェイユの本は
訳は多分完璧。
149(2): 2022/12/15(木)22:01 ID:SGmCP3qH(5/5) AAS
>>148
ヴェイユの続編ってどの本のこと？
150: 2022/12/15(木)22:07 ID:itdNU1//(3/3) AAS
>>149
>>ヴェイユの続編ってどの本のこと？
148には「ド・ラームの本の続編にあたるヴェイユの本」と書いたわけだが
このヴェイユの本の続編をお尋ね？
151: 2022/12/18(日)12:31 ID:UFHUDiIE(1) AAS
>>140
もしあるのなら、例えば"hyperforms"のように
currentとは別の名前で呼ぶべきだと思うんだが
152: 2022/12/20(火)13:00 ID:R0GrT6qP(1) AAS
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省5
153: 2022/12/21(水)22:36 ID:d2Z4gYmn(1/2) AAS
>>149
ケーラー多様体論入門 (シュプリンガー数学クラシックス) 単行本 – 2010/9/11
アンドレ・ヴェイユ (著), 佐武 一郎 (翻訳), 小林 昭七 (翻訳)
154: 2022/12/21(水)23:11 ID:d2Z4gYmn(2/2) AAS
この続きでここまでまとまりの良いものを書くのは難しい
155: 2022/12/22(木)07:56 ID:fsr6819L(1) AAS
ドラームとヴェイユは古典
156: 2022/12/22(木)09:42 ID:PmJUD9hr(1/2) AAS
進化系がHodge予想
157: 2022/12/22(木)09:44 ID:PmJUD9hr(2/2) AAS
ホッジ予想 (Hodge Conjecture)
複素解析多様体のあるホモロジー類は、代数的なド・ラームコホモロジー類であろう、
つまり、部分多様体のホモロジー類のポアンカレ双対の和として表されるようなド・ラームコホモロジー類であろう。
158(1): 2022/12/22(木)17:15 ID:Z8unMak0(1) AAS
一種のGAGA？
159: 2022/12/23(金)01:56 ID:0t7NOGX0(1/6) AAS
Hodge予想
X を非特異な複素射影多様体とすると、X 上のすべての(p,p)次の有理ド・ラームコホモロジー類は、
X の複素部分多様体のコホモロジー類の有理数係数の線形結合となるだろう。
p=1の時はLefschetzの定理でOK。
160: 2022/12/23(金)08:14 ID:6xFNalbd(1/2) AAS
これが解けないから
nonlineaar-Hodgeでお茶を濁す
161: 2022/12/23(金)11:27 ID:t8Xe5Ug0(1/2) AAS
訂正
nonlineaarー−＞nonlinear
162: 2022/12/23(金)13:16 ID:ug8NJUkz(1/3) AAS
Hodge予想はTate予想との関連も指摘されてたよね
163: 2022/12/23(金)13:28 ID:ALzI+m8I(1/2) AAS
>>158
GAGAって何？
164: 2022/12/23(金)13:31 ID:ALzI+m8I(2/2) AAS
ミレニアム問題だから、相当難しいんだろうね
ただ、ミレニアム問題の中では、一番解かれそうと言われている
165(1): 2022/12/23(金)13:34 ID:ug8NJUkz(2/3) AAS
GAGAは「Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique」
Hodge予想はLefschetz定理とGAGAから思いついたのではないか
166(1): 2022/12/23(金)13:55 ID:0t7NOGX0(2/6) AAS
>>165
なるほど
Hodge予想は1950年のケンブリッジ大学でのICMで発表されたとある
それとは別に、ホモロジー類の代表元を部分多様体で実現できるか？という問題も一時期考えられていたが、
それとも関係あるのでは？
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