微分形式 (730ﾚｽ)
上下前次1-新
58(1): 2022/11/22(火)21:26 ID:4Pri4uD7(2/3) AAS
原型が標準束の切断
59: 2022/11/22(火)21:53 ID:Hnwu8Yk0(1/2) AAS
>>31
Cheeger-Goresky-MacPherson予想
60: 2022/11/22(火)22:00 ID:Hnwu8Yk0(2/2) AAS
複素関数ろんのCauchyの積分定理も、微分形式を使えばStokesの公式から簡単に得られる
61: 2022/11/22(火)22:00 ID:4Pri4uD7(3/3) AAS
Cheeger, J., Goresky, M., MacPherson, R.: L 2 Cohomology and intersection
homology of singular algebraic varieties. Seminar on differential geometry,
Yau, S.T. (ed.) Princeton University Press, Princeton, NJ 1982
62(2): 2022/11/23(水)03:06 ID:46qxcm8F(1/3) AAS
>>47
複素幾何なら参考になれば
RIMS 共同研究報告集 No.1731
複素幾何学の諸問題 Open Problems in Complex Geometry, (2010)
外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
RIMS 共同研究報告集 No.2211
複素幾何学の諸問題 II Open Problems in Complex Geometry II, (2021)
省1
63(1): 2022/11/23(水)09:33 ID:dI57As+/(1) AAS
>>62
IIではIで放置された問題の解決が一行で要約されている。
64(3): 2022/11/23(水)10:08 ID:4ETl72G6(1) AAS
>>56
微分幾何的な意味での微分形式ではないらしく
複素解析的な微分形式で考えないとあかんらしい
保型形式の本にはあまり詳しく書かれていない
まともにやろうとすると説明がやっかいだから？
65(1): 2022/11/23(水)13:11 ID:46qxcm8F(2/3) AAS
>>63
まさかすぐに解かれるとは思わなかったんだろうね
66(1): 2022/11/23(水)13:24 ID:5B6hbaci(1/2) AAS
>>65
Iの前から数えて40年目の解決だった
67: 2022/11/23(水)13:32 ID:5B6hbaci(2/2) AAS
すでに有名な話だったから1行で済ませた
68(1): 2022/11/23(水)15:22 ID:46qxcm8F(3/3) AAS
>>66
どんな問題？
69(1): 2022/11/24(木)00:15 ID:5GwQ/ugy(1) AAS
>>64
？
微分幾何だろうが複素解析だろうが、微分形式の定義は同じ
70: 2022/11/24(木)00:54 ID:lfS/Mwj6(1) AAS
そういうのいいからｗ
71: 2022/11/24(木)05:48 ID:vVpUrry0(1) AAS
>>68
IとIIを眺めてごらん
72: 2022/11/25(金)23:54 ID:Zd5MYZKj(1) AAS
>>15
D. Bachman, A Geometric Approach to Differential Forms, 2nd ed. Birkhaeuser (2012)
J. P. Fortney, A Visual Introduction to Differential Forms and Calculus on Manifolds, Birkhaeuser, (2018)
73: 2022/11/26(土)00:51 ID:FLe7xSIT(1) AAS
微分形式の本
・多様体を勉強した後に読むと良い本
森田茂之，微分形式の幾何学，岩波現代数学の基礎 (2005)
坪井俊，幾何学III 微分形式，大学数学の入門，東京大学出版会 (2008)
Bott and Tu, 微分形式と代数トポロジー，丸善出版 (2020)
省2
74(1): 2022/11/26(土)04:05 ID:kDVjv+OI(1/2) AAS
>>69
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
75(1): 2022/11/26(土)07:14 ID:xE0lerTW(1/2) AAS
Wikiで放置されているこの手の劣悪な訳を集めて
改訳と並べて出版できれば良いと思われる
76: 2022/11/26(土)07:33 ID:kDVjv+OI(2/2) AAS
>>75
中国辺りはとっくに日英特許文献完訳システム稼働させてそう。
77: 2022/11/26(土)09:25 ID:xE0lerTW(2/2) AAS
これくらいなら内閣府の肝いりで
すぐにでもできそうだが
78: 2022/11/26(土)18:32 ID:AheRWPMC(1) AAS
法律的な問題がクリアできないような気がする
79: 2022/11/26(土)23:07 ID:hrpRgDFV(1) AAS
>>64
>>74
こういう書き込みするあたり、実微分形式と複素微分形式が別物だと思っているんだな
微分形式は実でも複素でも定義は同じ
特に複素の場合は、複素構造があふから、正則と反正則に分解出来るということ
結局、線形代数の話なんだが、それを理解してないから、実微分形式と複素微分形式が全然別物と誤解してしまう
80(1): 2022/11/26(土)23:28 ID:zGIYaNq4(1) AAS
しつこいよ
なにがそんなに悔しいんだ？
81(1): 2022/11/27(日)00:28 ID:q3+nnP9D(1) AAS
>>80
間違いを素直に認める謙虚な姿勢は大事だぞ
でないと、自分の誤解を改めることが出来ず進歩が無い
69 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2022/11/24(木) 00:15:23.75 ID:5GwQ/ugy
>>64
？
微分幾何だろうが複素解析だろうが、微分形式の定義は同じ
省2
82: 2022/11/27(日)13:08 ID:cd9wx0Qp(1) AAS
ここでそんな下らん言い争いは辞めてくれ
どうしてもしたけりゃ、以下のスレでやってくれ
ケーラー多様体・ホッジ分解
2chｽﾚ:math
83: 2022/11/27(日)17:46 ID:cQxn0V2n(1) AAS
>>81
そういうナントカの一つ覚えみたいな
単純な話ではないからな
84(2): 2022/11/28(月)02:55 ID:6piu02TN(1) AAS
>>58
一般の保型形式は捻れているベクトル束の切断として表される
つまり、座標系がグローバルに取れない
ゼータ関数だって解析接続したら表示が変わる、つまり、定義域が変わるとその表記が代わるのは当然だろう。
特に、一般の場合には値が直積束ではなく捻れているベクトル束であるということ
85(1): 2022/11/28(月)06:41 ID:3iytGQo2(1/2) AAS
>>84
カギ括弧つきの「捻る」ってなんでカギ括弧付けて記載するのかがいまいちピンと来ない。
86(1): 2022/11/28(月)09:17 ID:1DWIax2H(1) AAS
>>85
>>84の文章のどこにカギ括弧つきの「捻る」が付いているのか？
お前の目が悪いだけだろ
87: 2022/11/28(月)12:01 ID:hskfJ+20(1) AAS
ワロタ
保型形式のスレあったほうがいいな
88: 2022/11/28(月)15:23 ID:3iytGQo2(2/2) AAS
>>86
ここのレスに限定した話ではなく
一般に数学や物理のPDFで「捻れ」てるにカギ括弧付けてる場合が多く見られる。
なんかこのスレでムキムキしてる誰かさんみたいな粗探しではなくこっちは疑問として提示してる。
89: 2022/12/03(土)01:49 ID:VH2rKI2y(1) AAS
H"olmanderのL2理論の成功により、微分形式の解析が一気に広まったね
90: 2022/12/03(土)06:37 ID:qJ9san2u(1/4) AAS
H"olmander--->Kodaira-H"ormander-
91(1): 2022/12/03(土)06:48 ID:qJ9san2u(2/4) AAS
訂正
Kodaira-H"ormander-
ー−−＞
Bochner-Kodaira-Andreotti-Vesentini-Kohn-H"ormander
92: 2022/12/03(土)08:00 ID:AznH32Xs(1) AAS
>>91
おいおい、Hodgeを抜かすのかよｗ
微分形式の解析はHodgeの調和積分論（完全な証明は小平による）によって大きく発展を遂げた
93: 2022/12/03(土)08:04 ID:qJ9san2u(3/4) AAS
じゃ
Riemann-Hilbert-Weyl-Hodge-Bpochner-Kodaira-・・・
94: 2022/12/03(土)08:05 ID:qJ9san2u(4/4) AAS
訂正
Bpochner--->Bochner
95: 2022/12/04(日)00:33 ID:74LPh/8J(1) AAS
H"ormander以降はどうなの？
96: 2022/12/04(日)22:05 ID:N2JNDSvZ(1) AAS
>>H"ormander以降はどうなの？
H"ormander(65)-Skoda(72)-Fefferman(74)-・・・
97: 2022/12/05(月)12:34 ID:36HivrxM(1) AAS
Skoda以後とFefferman以後は分かれる。
98(1): 2022/12/06(火)00:15 ID:EkknZKl9(1) AAS
Donaldoson理論も接続1-formに対する、微分形式の解析だね
99(1): 2022/12/07(水)15:58 ID:aowQjg+r(1) AAS
>>98
なるほど
微分形式で非線形解析を行っている研究って他にある？
K"ahler-Einsteinは非線形だけど、K"ahlerポテンシャルの関数についての議論に帰着されるから、
微分形式の非線形解析ではないからね
100(1): 2022/12/07(水)18:25 ID:GL6vFCAQ(1) AAS
>>99
Siuのglobal rigidity
101: 2022/12/08(木)08:24 ID:xpFZils6(1/3) AAS
トラクターカルキュラスなども非線形
ペンローズの系統に近い
102(1): 2022/12/08(木)19:29 ID:2E9fCkcn(1) AAS
>>100
それって調和写像を使ったケーラー多様体の同型を示す定理だっけ？
そう言えば、最近調和写像の研究ってどうなの？
全然聞かないんだけど
103: 2022/12/08(木)20:58 ID:xpFZils6(2/3) AAS
Siuの続きはWikipediaによれば
Kevin Corlette found a significant extension of Siu's Bochner formula, and used it to prove new rigidity theorems for lattices in certain Lie groups.[32] Following this, Mikhael Gromov and Richard Schoen extended much of the theory of harmonic maps to allow (N, h) to be replaced by a metric space.[33] By an extension of the Eells−Sampson theorem together with an extension of the Siu–Corlette Bochner formula, they were able to prove new rigidity theorems for lattices.
このCorletteの仕事とDonaldsonの同時期の仕事が１１月に金沢であった研究集会の講演で引用されていた。詳しくは浅学非才ゆえ解説できないが。
104: 2022/12/08(木)22:17 ID:xpFZils6(3/3) AAS
この他に、比較的最近Sampsonの研究の続きがあったが
論文の著者名を忘れた。
105(1): 2022/12/08(木)23:31 ID:ZHzx5ZIt(1) AAS
>>102
Y-T, Siu, The complex-analyticity of harmonic maps and the strong rigidity of compact Kahler manifolds.
Ann. of Math. (2) 112 (1980), no. 1, 73?111.
Yauの予想「2つの負曲率のコンパクトケーラー多様体が同じホモトピー型であれば、それらは正則か反正則同型であろう」
を曲率の仮定を少し強めて証明した。
手法は調和写像に対するBochner techniqueを使う。
106: 2022/12/09(金)08:58 ID:lK+WckRr(1/4) AAS
近年はそれがuniformizationの問題に応用されている。
107: 2022/12/09(金)15:40 ID:8Dl9uL1L(1) AAS
例えばR上で、ルベーグ測度と微分形式はなぜ一致するのか？
測度と1-形式の概念は全く異なるものだと思うんだが
108(2): 2022/12/09(金)18:09 ID:lFMdnum3(1) AAS
>>105
n次ホモトピー群の代表元を、調和写像に選べるか？という Hodge理論の写像版の問題の研究とも関係ある
一般にはダメだけど、どこまで出来るのかも完全に解決はしてないはず
109(1): 2022/12/09(金)18:19 ID:pZ+cIqKL(1/2) AAS
>>例えばR上で、ルベーグ測度と微分形式はなぜ一致するのか？
>>測度と1-形式の概念は全く異なるものだと思うんだが
一致しない
110: 2022/12/09(金)18:21 ID:pZ+cIqKL(2/2) AAS
>>108
Siuはglobal rigidityに調和写像を使ったのは
学位論文でHodge予想を解こうとして失敗したときの経験から
111(1): 2022/12/09(金)18:58 ID:j65XAkcz(1) AAS
もっとカレントの理論とかそっちなスレにするかと思ったが。
112(1): 2022/12/09(金)19:13 ID:lK+WckRr(2/4) AAS
今日見た雑誌には
nonlinear Dirichlet problem
の論文があったが、内容は微分形式。
113: 2022/12/09(金)21:39 ID:lK+WckRr(3/4) AAS
>>111
昨日の講演の中に
positive currentに対して
Lelong nummberを拡張する話があった。
114: 2022/12/09(金)21:47 ID:lK+WckRr(4/4) AAS
訂正
nummber-->number
115: 2022/12/09(金)23:30 ID:0A5cT9bL(1) AAS
>>109
どちらもdxではないのか？
116: 2022/12/10(土)09:04 ID:DV2XUKqW(1/2) AAS
片方は接ベクトル空間上の関数で
他方は単に記号の節約の意味でdxを使っている。
117: 2022/12/10(土)16:52 ID:ccRtBtui(1/2) AAS
両者の関係はどうなっているのか？
118: 2022/12/10(土)21:14 ID:DV2XUKqW(2/2) AAS
少なくとも同一ではない
119(2): 2022/12/10(土)22:21 ID:TwVrWWrD(1/3) AAS
余接ベクトルと測度が同じとか意味分からん
概念として全然違うもの
120(1): 2022/12/10(土)22:23 ID:TwVrWWrD(2/3) AAS
>>112
何の研究集会
もし良ければホームページのリンクを貼ってくれるとありがたい
121: 2022/12/10(土)22:27 ID:TwVrWWrD(3/3) AAS
>>108
Eells-Sampsonのheat flowによる調和写像の存在がきっかけとなり進展した
調和写像の微分は"非線形微分形式"ということなのかな
122: 2022/12/10(土)23:49 ID:ccRtBtui(2/2) AAS
>>119
一見すると異なっていても、実は同じだったり
深い関係があるのは数学ではよくあることだろ
123: 2022/12/11(日)09:16 ID:9TtA0IG0(1) AAS
dx dy の意味は？★２
2chｽﾚ:math
124: 2022/12/11(日)10:47 ID:G4G3fajU(1) AAS
>>119
値域で積み上がった「葉層」が測度の正体だと幾何学的直観から見えなくもない。
125(1): 2022/12/11(日)11:49 ID:OqLDUrQ4(1) AAS
>>120
CONFERENCE ON COMPLEX ANALYSIS, COMPLEX GEOMETRY AND DYNAMICS
_in memory of Nessim Sibony_
at the Laboratoire de Mathématiques d'Orsay, Université Paris-Saclay
CONFERENCE WEBSITE: 外部ﾘﾝｸ:sites.google.com
126: 2022/12/11(日)12:54 ID:pWzY7KLw(1) AAS
>>125
ありがとう
127: 2022/12/11(日)22:15 ID:fuZoBKCW(1) AAS
測度と微分形式には深いつながりがあるよ
なぜかほとんどの教科書に書かれていない
128(2): 2022/12/12(月)12:44 ID:ZSex7Wyw(1) AAS
調和積分論の証明まできちんと書いてある良い本は、何がありますか？
129: 2022/12/12(月)13:33 ID:rhV6xRHH(1) AAS
>>128
Demaillyの講義録
130: 2022/12/13(火)12:51 ID:3VuaDUk0(1) AAS
>>128
洋書なら沢山あるけど、日本語だと証明まで真面目に書いている本って無いのかも
131: 2022/12/13(火)21:28 ID:utO4JB0Z(1) AAS
秋月康夫の「調和積分論」は
古すぎますか？
132(1): 2022/12/14(水)07:39 ID:HwNAEQvC(1) AAS
北原、河上の「調和積分論」は？
133(1): 2022/12/14(水)09:36 ID:G5iUW+22(1) AAS
本書は大学教養程度の数学の知識、即ち多変数の微積分と線形代数、のみを仮定して「調和積分論」を論じるという大胆な試みの書である。本書で述べられている調和積分論のHodgeの主定理（Hodge-小平の分解定理）の証明は見事であり(*0)、熱核を用いるAtiyah-Singer理論へと読者を誘ってくれることだろう。
本書を読んで感銘をうけるのは、幾何学研究に適用される「変分法の適用範囲の広汎さ」である。私の知識の範囲においても、すぐに以下の理論を挙げることができる。
(1) 大域変分法への適用: Morse理論、調和写像の理論
(2) Gauge理論への適用: 例えば、Yang-Mills理論
(3) 調和積分論への適用: 例えば、de-Rham･Hodge理論 （本書の主題である）
これらのどの一つを取っても、素晴らしく美しい理論である。これらの理論を学べば、幾何学的な対象に適用される変分原理の摩訶不思議な調べに一層魅せられるのではなかろうか。
134: 2022/12/14(水)14:05 ID:zDUTI069(1) AAS
>>133
外部ﾘﾝｸ[html]:natsuyamahanabi.livedoor.blog
135(1): 2022/12/14(水)22:27 ID:2JfTEDyd(1) AAS
>>132
日本語でまともに書いてあるのはこの本くらいですね
証明は熱流の方法を使っているのが特徴だが、解析の基礎(弱解の正則性など)は証明してない
前半が微分幾何の基礎事項にあてているから、どうしても証明をきちんと書くにはページ数が足りない
136(1): 2022/12/14(水)22:32 ID:xGXIuy9C(1) AAS
>>135
熱方程式の場合
非線形になると弱解の正則性をちゃんと書いたものは
英語の文献でもほとんどない
137(1): 2022/12/15(木)10:18 ID:XRNW/Fid(1) AAS
シュワルツ超函数に対応するものとしてカレントがある
わけだけども、佐藤超函数に対応させるとどうなるのか
佐藤超函数のコホモロジーと微分形式のコホモロジーが
合わさったようなものが存在するのだろうか
138(2): 2022/12/15(木)11:15 ID:kLN3C4DZ(1) AAS
カレンとで思い出したけど、ドラームの翻訳本があったね
まあ殆ど手に入らないけど、このシリーズ復刊すれば需要あるんじゃないか
ド・ラーム， 微分多様体 : 微分形式・カレント・調和形式，東京図書 (1974)
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