微分形式 (730ﾚｽ)
上下前次1-新
1: 2022/11/08(火)16:25 ID:OtN2/lIN(1/3) AAS
微分形式について語ろう
ω=dx∧dy + dy∧dz + dz∧dx
2(2): 2022/11/08(火)16:26 ID:OtN2/lIN(2/3) AAS
ω=dx∧dy + dy∧dz + dz∧dx これは何を表しているんだ？
3(1): 2022/11/08(火)16:28 ID:OtN2/lIN(3/3) AAS
ド・ラームのコホモロジーとは？
4(2): 2022/11/08(火)18:30 ID:aA/gP0cx(1/2) AAS
>>4
p次ド・ラームコホモロジー群は、次で定義される:
H^p(X;d) = Ker(d)/ Im(d)

空間Xが閉多様体ならば、これはp次の実係数特異コホモロジー群と
同型になると言うのが、ド・ラームの定理。
5: 2022/11/08(火)18:31 ID:aA/gP0cx(2/2) AAS
>>4はアンカーミス
>>3
6: 2022/11/08(火)20:43 ID:Bs+5zs2K(1) AAS
>>2
2階微分形式やろ？
7: 2022/11/09(水)15:58 ID:l77LXuBe(1) AAS
二階じゃなくて二次微分形式だっけ
8: 2022/11/09(水)20:27 ID:SMBlDbCt(1/2) AAS
そうじゃ無くて、直観的な意味とか
9(2): 2022/11/09(水)20:29 ID:SMBlDbCt(2/2) AAS
1次微分形式はベクトル場の双対だから、幾何的な意味は分かりやすいけど、2次以上だと何なのか？
2次元平面を表しているの？
10: 2022/11/09(水)21:47 ID:QIQCFUhQ(1) AAS
1次微分形式から外積で一挙に積み上げる
11: 2022/11/09(水)21:51 ID:jwKag0o3(1) AAS
Faraday-Schouten diagram
12(1): 2022/11/10(木)00:45 ID:SF6KZJ+b(1) AAS
>>9
無理に直感的に理解する必要無いんじゃね？
っていうか多分人間には無理
13(1): 2022/11/11(金)11:13 ID:tMgnMNHt(1) AAS
>>12
いや、接平面はイメージ出来るやろw
14(1): 2022/11/13(日)03:45 ID:K9XeEed2(1) AAS
>>13
ベクトル場でさえ正直イメージは難しい
各点で別の空間を成すからね
ベクトル場もどきはイメージできるけど
15(4): 2022/11/13(日)18:14 ID:A87PjOOL(1) AAS
>>14
閉形式や完全形式のイメージはどんな感じ？
16: 2022/11/13(日)21:16 ID:IqarIZ/R(1) AAS
>>15
わからん
17: 2022/11/13(日)22:07 ID:2+08SPR0(1) AAS
ポアンカレに聞け
18(2): 2022/11/13(日)23:51 ID:rpSF4G8q(1) AAS
>>15
電磁気力を使って
電気メッキしてできる被覆面のイメージそのもの。
19(2): 2022/11/14(月)08:21 ID:TQJ/NmcJ(1) AAS
>>18
de Rham cohomologyのイメージは？
20(1): 2022/11/14(月)15:52 ID:hcigipis(1) AAS
>>19
ゲェジスライスみたいな同値類縞々。
21: 2022/11/14(月)16:24 ID:F7PCj3Xy(1) AAS
>>電気メッキしてできる被覆面のイメージそのもの。

>>ゲェジスライスみたいな同値類縞々。

趣味の違いが表れているというべきか
22: 2022/11/16(水)01:18 ID:y0z96Tn9(1) AAS
>>15
流体力学でいえば、3次元の閉1-形式ωはrot ω=0となる。
23: 2022/11/16(水)23:55 ID:AqGXQw3n(1) AAS
>>18,20
メッキの剥げてるのを特定のタヌキ皮視点

箔をつけるというより或る意味ラミネート加工フォリエーション葉層。
24(1): 2022/11/19(土)12:55 ID:ZKzwG7WB(1/2) AAS
>>19
Hodge理論によれば、調和形式の空間と同型になる。
25(2): 2022/11/19(土)14:42 ID:X0cNy/6h(1/3) AAS
コンパクトなら
26: 2022/11/19(土)22:26 ID:X0cNy/6h(2/3) AAS
>>24
orbifoldの場合は？
27: 2022/11/19(土)22:28 ID:ZKzwG7WB(2/2) AAS
>>25
コンパクトでなくても、完備ならL2-コホモロジーと同型になる
28: 2022/11/19(土)22:32 ID:X0cNy/6h(3/3) AAS
>>コンパクトでなくても、完備ならL2-コホモロジーと同型になる
それは嘘
被約L2-コホモロジーとなら同型だが
29: 2022/11/20(日)08:43 ID:O3/gkxDr(1/3) AAS
関数論では被約でない通常のL2コホモロジーの方が重要
30: 2022/11/20(日)16:26 ID:tWmyFac9(1/4) AAS
完備の場合は、L2-コホモロジーじゃなくて、L2-調和形式の空間と同型
31(2): 2022/11/20(日)16:32 ID:tWmyFac9(2/4) AAS
特異点つき空間で、L2-コホモロジーと交叉コホモロジーと同型になるという予想は解決されたのかな？
孤立特異点くらいなら証明されていたと思うが、一般の場合はどうなっているんだろう。
32: 2022/11/20(日)17:31 ID:gdRLw20T(1/2) AAS
>>31
未解決
33(1): 2022/11/20(日)18:14 ID:TDgF+rTA(1) AAS
長瀬先生が示したのはどの場合？
34: 2022/11/20(日)18:56 ID:gdRLw20T(2/2) AAS
Nagase, Masayoshi Remarks on the L2-cohomology of singular algebraic surfaces. J. Math. Soc. Japan 41 (1989), no. 1, 97–116.
35: 2022/11/20(日)19:20 ID:i96LPcIL(1) AAS
>>33
stratified spaceの場合

Nagase, Masayoshi, L2-cohomology and intersection homology of stratified spaces,
Duke Math. J. 50 (1983), no. 1, 329–368.
36(1): 2022/11/20(日)21:31 ID:O3/gkxDr(2/3) AAS
isolated singularityの場合が結構難しかった
37: 2022/11/20(日)22:05 ID:tWmyFac9(3/4) AAS
凄い結果なんだけど、日本では全然評価されてないね
幾何学賞でも良いほどなのに
38: 2022/11/20(日)22:07 ID:tWmyFac9(4/4) AAS
大沢先生は複素のカテゴリー（解析空間）でやっていたのかな？
39: 2022/11/20(日)22:45 ID:O3/gkxDr(3/3) AAS
日本ではD加群を盛り立てていたから
L2は日陰の存在だった
40: 2022/11/21(月)05:57 ID:XuWZLDN0(1/2) AAS
代数幾何屋は解析が嫌いだから読まないし
解析やは代数幾何がわからないので読めない
41(2): 2022/11/21(月)21:09 ID:XuWZLDN0(2/2) AAS
幾何屋は基本的に複素が嫌い
42: 2022/11/21(月)22:33 ID:prJ3gCvB(1/4) AAS
>>36
Cheegerのテクニカルな評価のやつか
あの様な結果は代数では出せないし、解析の醍醐味だと思うが
43(1): 2022/11/21(月)22:36 ID:prJ3gCvB(2/4) AAS
>>41
複素だと代数幾何にマウント取られるからな
K"ahler-EinsteinでようやくDonaldsonやが解決したが、
代数幾何の人達はさらに先に進んでいるからね
たたし、出来る所しかやってなくて、解析が絡むと放置する
44(1): 2022/11/21(月)23:04 ID:TcadVfZe(1) AAS
Intersection Homology の参考図書

A. Borel ed., Intersection Cohomology, 2nd printing, Birkhaeuser, (2008).

F. Kirwan and J. Woolf, An Introduction to Intersection Homology Theory, 2nd ed.,
Chapman and Hall/CRC, (2006).

L. G. Maxim, Intersection Homology & Perverse Sheaves: with Applications to Singularities,
GTM 281, Springer (2020).

G. Friedman, Singular Intersection Homology, New Mathematical Monographs Book 33,
省2
45: 2022/11/21(月)23:11 ID:prJ3gCvB(3/4) AAS
>>41
複素（正則）のカテゴリーだと、単純に切り貼りが自由に出来ないというのもある
46: 2022/11/21(月)23:13 ID:prJ3gCvB(4/4) AAS
>>44
そう、しかも両方とも分厚いんだよね
こういう分厚い本が出るということは、もう分野的に終わりなのかなあ？

上にもあるように、重要な問題が未解決なんだけど
47(2): 2022/11/22(火)07:16 ID:4Pri4uD7(1/3) AAS
>>43
そのように放置されている問題のリストがあれば
ありがたいのだが
48(2): 2022/11/22(火)10:45 ID:ajgi5H4e(1/4) AAS
保型形式を微分形式として解説してる本てないよな
49(1): 2022/11/22(火)10:59 ID:j0bCoDwl(1/4) AAS
>>48

これは？

紀伊国屋数学叢書
保型形式と整数論
土井公二/三宅敏恒
50: 2022/11/22(火)13:18 ID:ajgi5H4e(2/4) AAS
>>49　thx
微分として出てくるけど
微分形式と微分の関係がわからない
51: 2022/11/22(火)14:13 ID:j0bCoDwl(2/4) AAS
アーベル微分は
複素解析的な1次微分形式
52: 2022/11/22(火)15:46 ID:ajgi5H4e(3/4) AAS
(m, n)-微分というのがあって
(m, 0)-微分は正則 m 次微分とよばれ
別名が第一種アーベル微分
(−1, 1)微分はベルトラミ微分とよばれるらしい
　
これらと微分形式の関係が書かれた本ありますか
53: 2022/11/22(火)16:11 ID:j0bCoDwl(3/4) AAS
タイヒミュラー空間論では(2,0)-微分がよく使われるし
ベルトラミ微分も基本的
タイヒミュラー空間上のWei-Petersson計量の曲率の話なんかは
微分幾何だから微分形式も必須
つまり
リーマン面の変形を反映する幾何学的構造の話として
それらの関係を論じたものならないわけではない。
54(1): 2022/11/22(火)16:53 ID:ajgi5H4e(4/4) AAS
詳しい案内どうもです
どうやら重さ2kの保型形式というのは単なる微分形式
ではなくて、k-foldの微分形式だということらしいです
このあたりがわからず混乱しておりお騒がせしました
　
あとは、kが半整数のときは何を意味するかが問題・・
55: 2022/11/22(火)16:58 ID:j0bCoDwl(4/4) AAS
>>54

>>kが半整数のときは何を意味するかが問題

これについては土井・三宅とか
清水先生の本をご参照ください。
56(1): 2022/11/22(火)20:52 ID:gUuSkwaX(1/2) AAS
>>48
そもそも、保型形式って微分形式なの？
57: 2022/11/22(火)20:54 ID:gUuSkwaX(2/2) AAS
留数は微分形式で定義すると良いというのは知っているが、
保型形式もそうやって微分形式で理解出来るということ？
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 673 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 1.054s*