Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 65

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250: １３２人目の素数さん [] 2022/04/12(火) 09:53:18.98 ID:QwXooT/Y

今年9月とは、2012年9月かな
異なるものを同じと見て
その一方で、同じと見たものから、異なる世界の「メガネ」を通して、別のものと見る(復元ですね)
IUTワールド

https://www.jinzai-soshiki.com/archives/essay/113.html
- 戦略的人事にITを活かす -　人材・組織システム研究室
第113回　異なる世界の「メガネ」を通して見えてくるもの

今年9月に数学の「ABC予想」が日本人数学者・望月新一博士によって解明されたというニュース
流れました。

「リーマン予想」があります。これは素数を
扱うもので、証明できれば万物の法則が解明かせると考えている数学者もいるとか。

こちらはまだ証明されていませんが、証明に大きく近づくブレークスルーは、優秀な数学者と物理学
者の偶然の出会いでした。素数が生み出す世界原子核のエネルギーの世界が偶然にも同じような式で示される、というとがわかったのです。

数学者が見ている素数の世界と、物理学者が見ている原子や量子力学の世界が実は非常に近い
世世だった。それぞれの「メガネ」で通して見える世界を重ね合わせることで、新しい発見がある。証明への大きなステップをみ出すことになりました。

ラグビー観戦が好きで、今まで観戦したラグビーの試合は結構な数になると思うのです
が、実際に練習や試合をしたことは一度もありせん。

そんな私がテレビで解説を聞いていると、「やったことがある人でなければ絶対にわからないことだ
な」と思う発言があります。どれだけ試合を見ても、解説本を読んでもわからない世界が確実に存在しているのだと思う瞬間です。

「実際にやっている」強さは何ものにも代えられないと思います。しかし、その世界に染まっておらず、まったく別の視点を持っている人から自分の世界を見てもらう。そんなところから、大きなブレークスル
ーが生まれるもまた事実。今から数学者や物理学者、ラグビー選手にはなれませんが、今のビジネ
スや生活で、このことを覚えておこうと思っています。

【今回参考にさせていただいた情報】
ＮＨＫスペシャル
「数学者はキノコの夢を見る ポアンカレ予想 100年の格闘」(2007年）
「魔性の難問　リーマン予想・天才たちの闘い」(2009年)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/250

259: １３２人目の素数さん [] 2022/04/12(火) 16:34:36.87 ID:QwXooT/Y

>>250
>異なるものを同じと見て
>その一方で、同じと見たものから、異なる世界の「メガネ」を通して、別のものと見る(復元ですね)

下記の望月 H24年7月 公開講座 ”数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」”
曰く”「加減乗除」が可能な数学的対象としての構造の理論から見ても直接的に関連付ける
ことは難しい。しかし数体の拡大体の対称性を記述する「絶対ガロア群」と、コンパクト
な位相曲面の有限次の被覆の対称性を統制する「副有限基本群」を通して両者を改めて眺
めてみると、「二次元的な群論的絡まり合い」という形で大変に興味深い構造的な類似性
が浮かび上がってくる。”

異なるものを同じと見て、その一方で、同じと見たものから、異なる世界の「メガネ」を通して、別のものと見る(復元)
H24（2012）年7月は、ちょうど2012年8月のIUT論文公表前です
おそらくは、IUT論文関連の話題を、公開講座に使ったのでは

（参考）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H24-mochizuki.pdf
公開講座 平24年7月30日〜
数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」望月 新一
要約
有理数体 Q のような「数体」と、複数のドーナツの表面を合体させたような形をしたコ
ンパクトな「位相曲面」は一見して全く異質な数学的対象であり、初等的な可換環論、つ
まり、「加減乗除」が可能な数学的対象としての構造の理論から見ても直接的に関連付ける
ことは難しい。しかし数体の拡大体の対称性を記述する「絶対ガロア群」と、コンパクト
な位相曲面の有限次の被覆の対称性を統制する「副有限基本群」を通して両者を改めて眺
めてみると、「二次元的な群論的絡まり合い」という形で大変に興味深い構造的な類似性
が浮かび上がってくる。本稿では様々な側面におけるこの種の類似性に焦点を当てながら、
数体と位相曲面の基礎的な理論について解説する。

目次
§1. 数体の付値と拡大
§2. 位相曲面上の輪体と被覆
§2.1. コンパクトな位相曲面の定義と種数
§3. コホモロジーによる「次元」の定義
§4. 数体と位相曲面の「絡まり合いの現場」：数体上の代数曲線
§4.1. 数体上の双曲的代数曲線
§4.2. 副有限基本群への絶対ガロア群の忠実な外作用

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/259

261: １３２人目の素数さん [] 2022/04/12(火) 16:40:09.66 ID:QwXooT/Y

>>260 つづき
§4.2. 副有限基本群への絶対ガロア群の忠実な外作用
前節（§4.1）の外部表現 ρX については様々な角度から多種多様な研究が行なわれてい
るが、ρX について知られている最も基本的な事実の一つは次の結果（[HM], Theorem C を参照）である
定理：数体 F 上で定義される双曲的代数曲線 X に付随する自然な外部表現 ρX : GF → Out(πb1(X)) は単射になる

同種の「単射性」に関する定理は、「穴が開いている」＝「コンパクトでない」双曲的
代数曲線の場合には、既に [Mtm] で証明されていて、[Mtm] も [HM] も、一番最初に Belyi
氏によって発見された、射影直線 P1 から三点を抜いて得られる双曲的曲線の場合の単射性に帰着させることによってより一般的な双曲的代数曲線の場合の単射性を証明している。
一方、上記の 定理 のようにコンパクトな双曲的代数曲線の場合にこの種の単射性を示すこ
との意義は、 §3.2 及び §3.3 で解説したように、コンパクトな種数 g の位相曲面と数体の絶対ガロア群には、「二次元的な群論的絡まり合い」という
深い構造的類似性があり、そのような類似性を持つ、一見全く異質な数論的な対象と位相幾何学的な対象を関連付けていることにある

つまり、上記の 定理 は、数論的な方の「二次元的な群論的絡まり合い」が、その自然な外
作用によって位相幾何学的な方の「二次元的な群論的絡まり合い」に忠実に表現されてい
ることを言っているのである。別の言い方をすると、純粋に「可換環論」の視点（＝つま
り、もっと具体的な言葉でいうと、初等的な加減乗除の範疇）で考察すると、数体と双曲的
代数曲線はいずれも次元 1 の対象であり、しかもその環論的な構造（＝つまり、正に「加
減乗除」の構造）は全く異質であるが、ガロア群や副有限基本群の「二次元的な群論的絡
まり合い」を通して両者を考察することによって、（§3.2 及び §3.3 で解説したような）深
い構造的な類似性が浮かび上がり、また上記の 定理 の単射性によってその両者の繋がりを
極めて明示的な形で定式化することが可能になる

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論 2012年8月に 初稿が公開
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/261

274: １３２人目の素数さん [] 2022/04/13(水) 07:32:39.29 ID:zpZHdgrf

>>273
つづき

ここらが、下記
星 裕一郎 宇宙際Teichmuller理論入門 https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/244783/1/B76-02.pdf
P83 § 1. 円分物
Z＾(1)
例えば, 以下が “Z＾(1)” の例です:
(a) (標数 0 の) 代数閉体 Ω に対する Λ(Ω) def ：= lim ←-n μn(Ω)
　ー　ここで, n ≧ 1 に対して, μn(Ω) ⊆ Ω は, Ω の中の 1 の n 乗根のなす群を表す
(b) (標数 0 の) 代数閉体 ? 上の射影的で滑らかな代数曲線 C に対する
Λ(C)def=HomZ＾(H2´et(C, Z＾), Z＾）-　ここで, i ≧ 0 に対して, Hi´et は, i 次エタールコホモロジー群を表す
(c)略
これら (まったく異なる定義による) 加群たちは, 実際, しばしば “Z＾(1)” という同一の記
号で表されます. 従来の数論幾何学で, 何故そのような記法が許されているのか, あるい
は, 何故そのような記法を採用しても本質的な齟齬が生じないのか, と言いますと, それ
は, もちろん, 上記の加群の間に自然な同一視/正準的な同型が存在するからです
(引用終り)

に繋がっているんだ
で、円分物で 逆極限 lim ←-n μn(Ω)
つまり、Z＾(1)は、一種のprofinite 完備化
（ http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/ss2009preparation.pdf プレサマースクール?数論的な体の絶対ガロア群の構造への道先案内? 大阪大学　落合理 2009
　1.1. 副有限群の定義と特徴づけ
　P2 一般的に通常の群が与えられるとその群を “完備化”することで副有限群が与えられることにも注意しておきたい.）

雪江明彦 代数学3 第3章「付値と完備化」では、ある条件下で、profinite 完備化と 非アルキメデス付値による完備化とが同値だとある
また、同 3.2「完備化の平坦性」で、ネーター局所環なら 平坦になる という
なお、Z＾(1)と Z＾（下記 Profinite integer）とで、前者 Z＾(1)には 1のn乗根は 射影の成分として入っているので射影として取り出すことができるが
後者のZ＾（下記 Profinite integer）は、そうではないという違いがある

なるほどね

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Profinite_integer
Profinite integer
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1644632425/274

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