箱入り無数目を語る部屋2

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1: １３２人目の素数さん [] 2021/08/19(木) 07:31:57.65 ID:ci5IkCtm

前スレ 箱入り無数目を語る部屋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/

（参考）
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事） 「箱入り無数目」抜粋
純粋・応用数学（含むガロア理論）8
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/401
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」

https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice
asked Dec 9 '13 at 16:16 Denis
（Denis質問）
I think it is ok, because the only probability measure we need is uniform probability on {0,1,…,N?1}, but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up.
（Pruss氏）
The probabilistic reasoning depends on a conglomerability assumption, ・・・and we have no reason to think that the conglomerability assumption is appropriate.
（Huynh氏）
If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes, then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision, but such a measure doesn't exist.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/1

2: １３２人目の素数さん [sage] 2021/08/19(木) 07:33:12.93 ID:ci5IkCtm

>>1
つづき

mathoverflowは時枝類似で
・Denis質問でも、もともと”but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up.”
　となっています。Denisの経歴を見ると、彼は欧州の研究所勤務で、other peopleは研究所の確率に詳しい人でしょう
・Pruss氏とHuynh氏とは、経歴を見ると、数学DRです。両者とも、このパズル（＝riddle）は、可測性が保証されていないと回答しています

http://www.ma.huji.ac.il/hart/
Sergiu Hart
http://www.ma.huji.ac.il/hart/#puzzle
Some nice puzzles:
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf?
Choice Games November 4, 2013
P2
Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win
with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing
the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1,..., 9}, respectively.

Sergiu Hart氏は、ちゃんと”シャレ”が分かっている（関西人かもｗ）
Some nice puzzles Choice Games と、”おちゃらけ”であることを示している
かつ、”P2 Remark.”で当てられないと暗示している
また、”A similar result, but now without using the Axiom of Choice.GAME2”
で、選択公理なしで同じことが成り立つから、”選択公理”は、単なる目くらましってことも暗示している

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/2

14: １３２人目の素数さん [sage] 2021/08/20(金) 07:33:53.68 ID:qzLSCf5v

>>13 補足

自然数N全体は、計量としては普通に無限大に発散している、つまり非正則な分布を成すのです
だから、コルモゴロフの確率の公理（全事象の確率＝1）を満たさない

”ランダム＊）”（＝確率）は、そのままでは、考えることはできない
例えば、自然数N全体から、”ランダム＊）”に一つの数ｍを取る
直観的には、偶数の確率1/2、奇数の確率1/2です
が、人は自然に極限を考えているのです

自然数Nを、ある有限の大きなｎの集合で近似すると
この場合は、普通の一様分布と考えることができて、「偶数の確率1/2、奇数の確率1/2」が成立です
そして、ｎ→∞の極限としてならば、「偶数の確率1/2、奇数の確率1/2」が成立です

同様に、自然数Nをある有限の大きなｎの集合で近似して
任意の二つの異なる数 m1,m2を取ると、P（m1＞m2）＝1/2 も証明できるでしょう
そして、ｎ→∞の極限としてならば、「P（m1＞m2）＝1/2」が成立です

これと同じことを、決定番号で考えると
ある有限の大きなｎの集合で近似して
ここで、時枝記事のように、箱には任意の実数が入るとして
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/402 と同様に
実数列の集合 R^nを考える

決定番号は、s = (s1，s2，s3 ，・・・sn)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・s'n )∈R^nは，ある番号から先のしっぽが一致する番号
この場合は、sn＝s'nなら、決定番号d＝nです
そして、P(sn-1＝s'n-1)＝0です。∵sn-1＝s'n-1となる確率0です。実数1点の測度は0ですから
よって、ｎ→∞の極限として、決定番号d＝n→∞ですから、有限の決定番号dを得る確率は0です

なお、これは「有限の決定番号dの非存在」を意味するものではありません
決定番号dの集合が、ｎ→∞の極限で無限大になり、かつ分布の裾が減衰しない分布、つまり非正則だから、
「有限の決定番号dは存在する」けれども、無限集合全体から見れば、「ゼロに等しい」ということです
これが、時枝さんの記事のトリックです

以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/14

51: １３２人目の素数さん [sage] 2021/08/21(土) 11:18:46.27 ID:kvCTkQ4a

>>3 補足

https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set
Vitali set
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
ヴィタリ集合（ヴィタリしゅうごう、英: Vitali set）とはジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ非可測な実数集合の基本的な例である[1]。ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算個のヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。1970年にロバート・ソロヴェイ（英語版）は、到達不能基数の存在を仮定することにより、全ての実数の集合がルベーグ可測となるような（選択公理を除いた）ツェルメロ・フレンケル集合論のモデルを構築した[2]。

構成と証明
有理数体 Q は実数体 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。

R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。このようにして作られた集合がヴィタリ集合(V)と呼ばれているものである。すなわち、ヴィタリ集合 V は [0, 1] の部分集合で、各 r ∈ R に対して v - r (v∈ V)が有理数になるような一意的な v を要素に持つものである。ヴィタリ集合 V は不可算であり、  u,v∈ V,u≠ vであれば v - u は必ず無理数である。
(引用終り)

ヴィタリ集合の非可測性を理解していないおサルがいるな
上記に、ヴィタリ集合を引用しておくので、勉強するようにｗ

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/51

52: １３２人目の素数さん [sage] 2021/08/21(土) 11:20:41.14 ID:kvCTkQ4a

>>51
つづき

さてここで、
1．実数体 Rを、無限小数 0.a0,a1,a2,・・→∞ とみると、 a0,a1,a2,・・には、0〜9の数が入る
2．一方、a0,a1,a2,・・→∞を、時枝の箱と見ると、a0,a1,a2,には、任意の実数が入る
3．つまり、a0,a1,a2,・・を下記の形式的冪級数の係数と考えることができるのです
　（上記ヴィタリにおいて、実数Rに対応するのが式的冪級数環A[[X]]で、有理数Qに相当するのが多項式環K[X]です。
　　下記及び前スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/416-417 ご参照）
4．ヴィタリ集合は、区間[0, 1]の中にR/Qの代表を詰め込んだものだ。代表全体は不可算個ある。だから、可測か非可測かを論じることができるのです
　しかし、一つの代表は、実数のただ1点にすぎないから、これは非可測ではない。明らかに、測度は0だ
5．それは、時枝でも同様。そもそも、代表100個しか使わないから、可測か非可測かを論じることが無意味
6．かつ、もっと言えば、下記形式的冪級数環A[[X]]は、無限次元ベクトル空間と見ることが出来る
　そもそも、下記無限次元ベクトル空間では、ヒルベルト空間のように計量を入れないと、可測か非可測かを論じることが無意味
　（ヒルベルト空間や河東ご参照）
7．時枝先生は、ヴィタリのミスリードで、2重に間違っている
　（代表は有限個しか使わないし＊）、R^Nには計量が そのままでは 入らないから非可測云々自身が無意味だ）

注＊） 簡単な話で、数列のしっぽで、同値類の類別だけで止めておいて、代表は無しで良い
　必要になったとき、100個だったら100個の代表を、そのときに取れば良い
　代表全体の集合を作る必要がないから、選択公理は使わないで 済ますことができる

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/52

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