Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51

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578: １３２人目の素数さん [] 2021/02/15(月) 23:35:04 ID:SCw6yhUQ

>>575

あっ、これいいわ
分かりやすい。必読ですね

http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/olditems.html
Old items 中村博昭
Japanese items:
集中講義 （北大 '99） レクチャーノートあります (35p.)
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/hokudai99/hokudai99.html
ガロア・タイヒミュラー群の Lego 理論」
１９９９年６月７日〜１１日
レクチャーノート出来ました。
製本版(p.35)・北海道大学数学講究録 Series No.65, August 2000
ps [840kB] / pdf [490kB] http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/hokudai99/hokudai99.pdf
写真
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/hokudai99/06090017.jpg
授業の目的及びねらい
この講義の主なねらいは、代数曲線のモジュライ空間に関係する 種々の副有限基本群におけるガロア表現が、その最も基本的な 場合である射影直線マイナス３点の場合をうまく組み合わせる ことで記述できる、という構造を理解することである。 この一環としてタイヒミュラー幾何学のような位相幾何と代数幾何 が交錯する世界の一面を、群論的なわかりやすい言葉を基調として 描写することを試みる。
内容：
1. Overview
代数曲線のモジュライ空間の基本群 (タイヒミュラーモジュラー群)たちは、 リーマン面の退化を通じて、多重な仕方で 積み重なっている。 この構造を、有理数体の絶対ガロア群 の表現の言葉で記述することが今回の集中講義のテーマ であるが、この Overview では、理論の骨格を大局的に素描 することで全体像を概括する。 特にリーマン面のパンツ分解のなす Hatcher complex と GT の精密化に関する最近の結果について論ずる。 余裕があれば、最近の新しい観点などについても触れてみたい。
2. エタール基本群と Belyi の定理
射影直線マイナス３点の基本群における外ガロア表現 と Belyi の定理とその意義を理解する。
3. Tangential base point
基本亜群とTangential base point の概念を導入する。 また、Grothendieck-Teichm\"uller 群の定義と基本事項の紹介。
4. Maximally degenerate marked stable curve
最大退化曲線の形式近傍の具体的な構成とガロア表現の Van-Kampen 的貼り合わせについて解説する。
5. Tate elliptic curve and M_{1,2}
代数曲線のモジュライ空間の基本群とその位相幾何的な 生成元(Dehn twist)へのガロア作用を(種数１の特別な 場合に)論ずる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/578

579: １３２人目の素数さん [] 2021/02/16(火) 00:01:34 ID:9NoLb5+z

>>578
＞ガロア・タイヒミュラー群の Lego 理論」

" Lego "は、おもちゃのレゴなんですね（下記ご参照）

(抜粋：文字化けご容赦、原文をご参照願いたし)
はしがき
このノートは、北海道大学で集中講義した内容に若干加筆
してまとめたものである。この講義の主なねらいは、代数曲線のモジュライ空間の基本群
(タイヒミュラーモジュラー群) たちが、リーマン面の退化を通じて、多重な仕方で積み重
なっている様子を、有理数体の絶対ガロア群の表現の言葉で記述することであった。特に、
代数曲線のモジュライ空間に関係する種々の副有限基本群におけるガロア表現が、その最
も基本的な場合である射影直線マイナス３点の場合をうまく組み合わせることで具体的に
記述できる、ということを説明した。この一環としてタイヒミュラー幾何学のような位相
幾何と代数幾何が交錯する世界の一面を、ガロア理論を通じて群論的な平易な言葉で描写
することを試みた。

1 代数曲線のモジュライとガロア表現

Mg,n を種数g のn 標点付き完備非特異代数曲線のモジュライ空間とし、有理数体Q 上
定義された代数的スタックとみなす。スタックというのは、自己同型を持つ代数曲線のモ
ジュラスの点では、その自己同型群を空間が覚えていて、被覆をとると、その分が忘れず
に出て来て被覆変換群の中にくり込まれるようにうまく定式化されている、という意味が
ある。

このモジュライ空間の複素化の基本群は、タイヒミュラー・モジュラー群??写像類群とも
いう)
略
と同型であり、??????  の普遍被覆?? に自然に作用して

という??????  の商表示を引き起こす。

Example 1.1  楕円曲線(＋原点) のモジュライ空間 略 は
j=0, 1728 で ”singular”である。その複素化はよく知られているように上半平面H で一意化
されて 略 とかける。体論的に上の基本完全系列をとらえるためにQ(ｊ）
をQ 上定義されたM1,1 上の有理函数体、C（ｊ）をC 上定義されたM1,1  上の有理函数体と
し、C(H)alg を H 上の有理型函数( でC(j) 上代数的なもののなす体)とおく・・・

P4
(2)Grothendieck's Philosophy

P5
それぞれの群からGQ に標準的な全射があ
る。これらが有機的に積み重なつて、
Grothendieck-Teichmuller 塔
を形成する。Grothendieckは、これの構造を知ること、特に、次元の小さいいくつかの場
合（M0,4, M0,5, M1,1, M1,2） を詳細に研究し、それらをブロック遊び(le jeu de Lego) のよう
に積み上げて、一般のMg,n の場合を記述することを提唱した。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/579

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