Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51

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526: １３２人目の素数さん [] 2021/02/14(日) 23:16:51 ID:auGHfbsR

>>499
なるほど
・”１つ穴あきトーラス上の閉曲線に対しても図４で示されるように適当な被覆に持ち上げて，４つ穴あき球面の場合に帰着させてツイストパラメータを定義する．”
・”１点穴あきトーラスは１つのパンツに分解される．”
「４つ穴あき球面」、「１点穴あきトーラスは１つのパンツ」なのか

https://math.cs.kitami-it.ac.jp/~kabaya/index_ja.html
蒲谷祐一
https://math.cs.kitami-it.ac.jp/~kabaya/talk_ja.html
2012年9月1日?4日
リーマン面に関連する位相幾何学 東京大学
https://math.cs.kitami-it.ac.jp/~kabaya/slides/2012/riem_surf.pdf
Parametrization of PSL(2, C)-representations of surface groups
蒲谷祐一（Kabaya Yuichi）大阪大学理学研究科数学専攻 学振特別研究員 PD，
1 序
S を種数 g ? 2 の閉曲面とする．S 上の標識付き双曲構造全体のなす空間は Teichm¨uller 空間と呼ばれる．
Fenchel-Nielsen 座標によりこの空間は 6g ?6 次元の Euclid 空間と同相になる事がわかる．一方，S の標識
付き双曲構造は基本群 π1(S) の Isom+(H2) への離散忠実表現の共役類と同一視できる．ここで Isom+(H2)
は双曲平面 H2 の向きを保つ等長変換群である．この群は PSL(2, R) と同相であるので，Teichm¨uller 空間
は PSL(2, R) 表現のなす空間を共役の作用で割ったもの Hom(π1(S),PSL(2, R))/conj. の部分集合とみなせる．
この空間の複素化として Hom(π1(S),PSL(2, C))/conj. を考える事ができる．PSL(2, C) は３次元双曲空
間の向きを保つ等長変換とみなせるので，π1(S) の離散忠実表現は S × (?1, 1) 上に双曲構造を与える．特
に Hom(π1(S),PSL(2, C))/conj. は quasi-Fuchsian 表現を開集合として含む．Fenchel-Nielsen 座標の複素
化として quasi-Fuchsian 表現の Fenchel-Nielsen 座標が Kourouniotis [Kou] と Tan [Tan] により定義され
ている．
本稿では，quasi-Fuchsian 表現を含むより広いクラスの PSL(2, C) 表現に対して Fenchel-Nielsen 座標を
拡張した結果 [Kab] について報告する．

2 Fenchel-Nielsen 座標
Sのパンツ分解とする．つまり ci は S 上の単純閉曲線で S \ C が３つ穴あき球面からなるとする（図１
左）．S 上に双曲計量が与えられると，ci にホモトピックな測地線の長さ li を定義する事ができる．よっ
て li は Teichm¨uller 空間上の関数を与える．

6 Twist parameter
次に４つ穴あき球面 S の基本群の表現を考える．S を S = P ∪P′ と２つのパンツに分解する．

１つ穴あきトーラス上の閉曲線に対しても図４で示されるように適当な被覆に持ち上げて，４つ穴あき
球面の場合に帰着させてツイストパラメータを定義する．

8 例：１点穴あきトーラスの場合
ここでは１点穴あきトーラスの基本群の表現を例にとって説明する．１点穴あきトーラスは１つのパン
ツに分解される．双対有向グラフ G，極大ツリー T，固有値パラメータ e1, e2, とツイストパラメータ t1 を
図６の左の様に定める．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/526

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