Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51

[過去ﾛｸﾞ] Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

418: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 18:17:59 ID:wXktx3pj

>>375 より
>エタール基本群 Etale fundamental group
>(参考)
>https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89tale_fundamental_group
>Etale fundamental group

(引用開始)
（原文）
Formal definition
Let X be a connected and locally noetherian scheme, let x be a geometric point of X, and let C be the category of pairs (Y,f) such that f： Y→ X is a finite etale morphism from a scheme Y. Morphisms (Y,f)→ (Y',f') in this category are morphisms Y→ Y' as schemes over X. This category has a natural functor to the category of sets, namely the functor
F(Y)= Hom _X(x,Y);
geometrically this is the fiber of Y→ X over x, and abstractly it is the Yoneda functor represented by x in the category of schemes over X.

（DeepL訳の手直し）
形式的な定義
Xを連結された局所的ネター的スキームとし、xをXの幾何学的点とし、f： Y→XがスキームYからの有限エタール写像であるようなペア(Y,f)のカテゴリをCとします。
このカテゴリの写像(Y,f)→(Y',f')は、X上のスキームとしての写像Y→Y'であり、このカテゴリは、集合のカテゴリに対する自然なファンクタ、すなわち
F(Y)= Hom _X(x,Y).
幾何学的にはこれはx上のY→Xのファイバーであり、抽象的にはX上のスキームのカテゴリでxで表される米田関手である。
(引用終り)

エタール基本群 Etale fundamental group から、”category”ご登場！

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/418

419: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 18:18:54 ID:wXktx3pj

>>418
つづき

（原文）
Examples and theorems
The most basic example of a fundamental group is π1(Spec k), the fundamental group of a field k. Essentially by definition, the fundamental group of k can be shown to be isomorphic to the absolute Galois group Gal (ksep / k). More precisely, the choice of a geometric point of Spec (k) is equivalent to giving a separably closed extension field K, and the fundamental group with respect to that base point identifies with the Galois group Gal (K / k). This interpretation of the Galois group is known as Grothendieck's Galois theory.

More generally, for any geometrically connected variety X over a field k (i.e., X is such that Xsep := X ×k ksep is connected) there is an exact sequence of profinite groups

1 → π1(Xsep, x) → π1(X, x) → Gal(ksep / k) → 1.

（DeepL訳の手直し）
例と定理
基本群の最も基本的な例は、体kの基本群であるπ1(Spec k)です。定義の本質は、kの基本群は絶対ガロア群Gal(ksep / k)に同型であることが示されます。より正確には、Spec(k)の幾何学的な点の選択は、分離的で閉拡大体Kを与えることと等価であり、その基点に関する基本群は、Gal(K / k)のGalois群と同型である。このガロア群の解釈は、グロテンディエックのガロア理論として知られている。

より一般的には、体k上の任意の幾何学的に連結された多様体X（すなわち、Xsep := X ×k ksepで連結されているようなX）に対して、次のような副有限群の完全列が存在する。
1 → π1(Xsep, x) → π1(X, x) → Gal(ksep / k) → 1.
(引用終り)

グロテンディエックのガロア理論のご登場！
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/419

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.031s