Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51

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401: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 10:23:06 ID:wXktx3pj

>>395
>定理2.1 (フェンチェル・ニールセン座標)

これ、タイヒミュラーでは重要みたい（下記など）

（参考）
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kawazumi/Aoyama20S.html
河澄響矢 東大
20 年度前期「幾何学 IV/幾何 III/幾何学特論」（青山学院大学理工学部）関係ファイル
”東京大学理学部の学部生の教育に有益である（と信ずる）”

講義概要:
非ユークリッド幾何学の代表的なモデルである２次元双曲幾何学とその発展を解説する。 講義では、まず、双曲平面を導入し、フックス群とリーマン面の関係を学習する。 その後、フックス群をすべて無駄なく集めた空間であるタイヒミュラー空間を定義する。 この講義での中心はタイヒミュラー空間の接空間である。 とくに接空間にヴェイユ-ピーターソン-ケーラー形式を導入し、 その位相的な抽出物であるゴールドマン括弧積を議論する。
達成目標:
２次元という親しみやすい対象の上での具体的な考察を通して、幾何学のさまざまな対象に慣れ親しむことを目標とする

＜授業手書きノート pdf:＞
第1回: 一次分数変換の復習。
第2回: 測地線とメビウス変換。
第3回: 双曲距離と面積。
第4回: リーマン面。
第5回: 閉リーマン面のフックス群。
第6回: リーマン・モジュライ空間。https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kawazumi/Aoyama20S06.pdf
第7回: タイヒミュラー空間とフリッケ座標。
第8回: パンツ分解と双曲パンツ。https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kawazumi/Aoyama20S08.pdf
第9回: フェンチェル-ニールセン座標（その１）。https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kawazumi/Aoyama20S09.pdf
第10回: フェンチェル-ニールセン座標（その２）。https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kawazumi/Aoyama20S10.pdf
第11回: フックス群の無限小変形。
第12回: タイヒミュラー空間の接空間。
第13回: ヴェイユ-ピーターソン-計量。
第14回: ヴェイユ-ピーターソン-ケーラー形式。

Goldman bracket について何も解説できませんでしたが、
まずは Goldman の原論文
W. M. Goldman
Invariant functions on Lie groups and Hamiltonian flows
of surface group representations,
Invent. math., 85 (1986) 263--302,
をご覧ください。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/401

403: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 10:48:36 ID:wXktx3pj

>>401

追加

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8E%E6%AC%A1%E5%85%83%E3%83%88%E3%83%9D%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC
低次元トポロジー

目次
1 歴史
2 二次元
2.1 曲面の分類
2.2 タイヒミューラー空間
2.3 一意化定理

歴史
1960年代に始まった多くの位相幾何学の発展は、位相幾何学が低次元で重要であることを示した。1961年のスティーヴン・スメイルによる高次元でのポアンカレ予想の解決は、3次元と 4次元が最も難しい問題であると思わせるに充分であった。実際、3次元や 4次元では、新しい方法が要求され、一方、高次元での自由度は手術理論（英語版）を計算機的な方法で（低次元へ）還元することができることを意味した。後日、1970年代にウィリアム・サーストンにより定式化された幾何化予想では、低次元では幾何学とトポロジーが密接に関係することを示唆するフレームワークが提供され、サーストンのハーケン多様体についての幾何化予想の証明は、以前は関連の薄かった数学分野からくる多様体のツールが用られた。1980年代初期のヴォーン・ジョーンズによるジョーンズ多項式の発見は、結び目理論に新しい方向性をもたらしたのみならず、低次元トポロジーと数理物理学の間のミステリアスな関係性を呼び起こした。2002年のグレゴリー・ペレルマンは、リチャード・S・ハミルトンのリッチフローという幾何解析（英語版）分野のアイデアを使い、3次元ポアンカレ予想の証明を言明した。

すべてのこれらの前進は、残りの他の数学の分野へより良い影響をもたらした。

タイヒミューラー空間
詳細は「タイヒミューラー空間（英語版） 」を参照
数学において、（実）位相空間 X のタイヒミューラー空間 TX は、恒等写像と同位（英語版）な同相写像の作用を除いて X 上の複素構造をパラメータ付ける空間である。TX 上の各点は、「印」をつけたリーマン面の同型類とみなすことができる。ただし、「印」とは X から自分自身への同相写像の同位類である。タイヒミューラー空間は、（リーマン）モジュライ空間の普遍被覆軌道体（英語版）である。

タイヒミューラー空間は、標準的な複素多様体の構造と豊かな自然計量を持っている。タイヒミューラー空間の台となる位相空間は、フリッケ(Fricke)により研究され、その上のタイヒミュラー計量は Oswald Teichmuller (1940) で導入された[1]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/403

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