Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51

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388: １３２人目の素数さん [] 2021/02/12(金) 08:00:33 ID:ON+uWjNc

>>371
>数体Fの上に一点抜き楕円曲線X（＝双曲的な曲線）が与えてあるとする。
>すると、エタール基本群をとることによって自然な完全列ができる：
> 1→ΔX→ΠXp→Gp→1

なるほど
IUTでは、一点抜き楕円曲線X（＝双曲的な曲線）とか、”ｎ一点抜き”などが基本なのか！

>>375-376
>エタール基本群 Etale fundamental group
>More generally, for any geometrically connected variety X over a field k (i.e., X is such that Xsep := X ×k ksep is connected) there is an exact sequence of profinite groups
> 1 → π1(Xsep, x) → π1(X, x) → Gal(ksep / k) → 1.
>Bhatt & Scholze (2015, §7) have introduced a variant of the etale fundamental group called the pro-etale fundamental group. It is constructed by considering, instead of finite etale covers, maps which are both etale and satisfy the valuative criterion of properness.
>Tamagawa, Akio (1997), "The Grothendieck conjecture for affine curves", Compositio Mathematica, 109 (2): 135?194, doi:10.1023/A:1000114400142, MR 1478817

エタール基本群で
類似の完全列があるね
Scholze氏、Tamagawa氏も、ご登場か

>>377
>「　多様体 X の同型類についてのどのくらいの情報が、エタール基本群（英語版）(etale fundamental group)の知識には含まれているのであろうか？[2] 」
>具体例は、多様体が射影的と同様にアフィン的な場合である。有限生成な体 K （その上の素体）上に定義された滑らかで既約な場合を想定し、与えられた双曲線 C に対し、つまり、種数 g の射影代数曲線内の n 個の点の補空間に対し、
> 2 - 2g - n < 0
>とする。グロタンディークは、射有限群である C の代数的基本群 G が C 自身を決定する（つまり G の同型類が C の同型類を決定する）と予想した。このことは望月新一により証明された[3] g = 0（射影直線）で n = 4 の場合の例が与えられ

2 - 2g - n < 0
これ、>>333 伊原先生の
「ここにXが双曲型とは,その種数をg,穴の個数をnとす
るとき2gー2+n>0が満されることです.」
と同じだね

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/388

393: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 00:04:22 ID:wXktx3pj

>>388 補足
>2 - 2g - n < 0
>これ、>>333 伊原先生の
>「ここにXが双曲型とは,その種数をg,穴の個数をnとす
>るとき2gー2+n>0が満されることです.」
>と同じだね

下記の作間　誠 (広島大学)氏「2.3. 双曲曲面とタイヒミュラー空間」に説明があるね
オイラー標数が&χ(Σg,n) = 2 - 2g - n < 0 ってことね
なるほど、ここにタイヒミュラー空間が出てくるのか！
（参考）
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/saji/math/conf2016/topsymp/
第63回トポロジーシンポジウム 2016年7月
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/saji/math/conf2016/topsymp/071-Sakuma.pdf
講演スライド
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/saji/math/conf2016/topsymp/070-Sakuma.pdf
企画講演 アブストラクト
結び目と３次元多様体
〜　幾何構造とファイバー構造を中心として　〜
作間　誠 (広島大学)
(抜粋)
1. はじめに
種数 g の有向閉曲面を考えると，g = 0 の時は球面，g = 1 の時はトーラス R2/Z2 で
あり，それぞれ自然に球面構造とユークリッド構造を持つことは誰の目にも明らかで
ある。双曲幾何の初歩を勉強すると，種数 g ≧ 2 なら双曲構造を持つこともすぐに理
解できる。そうすると一歩進めて，３次元多様体でも同じようなことが成り立つので
はないかと考えるのは（今となっては）極めて自然なことであり，きっとそのような
発想をした人も過去にいたのではないかと想像できる。
また，1977 年という（Thurston がプリンストン大学で講
義を開始した1978 年直前の）絶妙のタイミングで御著書「非ユークリッド幾何の世界」
をブルーバックスより出版された日本の結び目理論の創始者・寺阪英孝先生も，その
ようなことを考えられたことがあるかも，と想像することがある。
Thurston は３次元多様体のトポロジーと幾何の相性が格段に良いことに気づき，沢
山の研究者を巻き込みながら，全く新しい視点から３次元トポロジーの研究を行い，結
び目理論を含む低次元トポロジーの世界を一変させた。
Riley による双曲構造の発見とThurston によるハーケン多様体の双曲化定理において，ファイバー結び目は特別な
役割を果たしている。
本論説では，曲面束の構造と幾何構造との関係を中心に，現在までに明らかにされ
たことの解説を試みた。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/393

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