Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51

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388: １３２人目の素数さん [] 2021/02/12(金) 08:00:33 ID:ON+uWjNc

>>371
>数体Fの上に一点抜き楕円曲線X（＝双曲的な曲線）が与えてあるとする。
>すると、エタール基本群をとることによって自然な完全列ができる：
> 1→ΔX→ΠXp→Gp→1

なるほど
IUTでは、一点抜き楕円曲線X（＝双曲的な曲線）とか、”ｎ一点抜き”などが基本なのか！

>>375-376
>エタール基本群 Etale fundamental group
>More generally, for any geometrically connected variety X over a field k (i.e., X is such that Xsep := X ×k ksep is connected) there is an exact sequence of profinite groups
> 1 → π1(Xsep, x) → π1(X, x) → Gal(ksep / k) → 1.
>Bhatt & Scholze (2015, §7) have introduced a variant of the etale fundamental group called the pro-etale fundamental group. It is constructed by considering, instead of finite etale covers, maps which are both etale and satisfy the valuative criterion of properness.
>Tamagawa, Akio (1997), "The Grothendieck conjecture for affine curves", Compositio Mathematica, 109 (2): 135?194, doi:10.1023/A:1000114400142, MR 1478817

エタール基本群で
類似の完全列があるね
Scholze氏、Tamagawa氏も、ご登場か

>>377
>「　多様体 X の同型類についてのどのくらいの情報が、エタール基本群（英語版）(etale fundamental group)の知識には含まれているのであろうか？[2] 」
>具体例は、多様体が射影的と同様にアフィン的な場合である。有限生成な体 K （その上の素体）上に定義された滑らかで既約な場合を想定し、与えられた双曲線 C に対し、つまり、種数 g の射影代数曲線内の n 個の点の補空間に対し、
> 2 - 2g - n < 0
>とする。グロタンディークは、射有限群である C の代数的基本群 G が C 自身を決定する（つまり G の同型類が C の同型類を決定する）と予想した。このことは望月新一により証明された[3] g = 0（射影直線）で n = 4 の場合の例が与えられ

2 - 2g - n < 0
これ、>>333 伊原先生の
「ここにXが双曲型とは,その種数をg,穴の個数をnとす
るとき2gー2+n>0が満されることです.」
と同じだね

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/388

423: １３２人目の素数さん [] 2021/02/13(土) 18:34:27 ID:wXktx3pj

（>>377より再録）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%A0%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
遠アーベル幾何学

遠アーベル幾何学（えんアーベルきかがく、Anabelian geometry）は数学の理論であり、代数多様体 V 上の代数的基本群（英語版）(algebraic fundamental group) G や関連する幾何学的対象を記述する。
曲線上のグロタンディークの予想の定式化
「遠アーベル的問題」とは次のように定式化される。
「　多様体 X の同型類についてのどのくらいの情報が、エタール基本群（英語版）(etale fundamental group)の知識には含まれているのであろうか？[2] 」
具体例は、多様体が射影的と同様にアフィン的な場合である。有限生成な体 K （その上の素体）上に定義された滑らかで既約な場合を想定し、与えられた双曲線 C に対し、つまり、種数 g の射影代数曲線内の n 個の点の補空間に対し、
2 - 2g - n < 0
とする。グロタンディークは、射有限群である C の代数的基本群 G が C 自身を決定する（つまり G の同型類が C の同型類を決定する）と予想した。このことは望月新一により証明された[3] g = 0（射影直線）で n = 4 の場合の例が与えられ、このとき、C の同型類が K の中の削除される 4つの点の連比により決定される。（ほとんど、連比で 4つの点の順序であるが、点を取り去ると存在しない。）[4] K が局所体の場合の結果もある[5]。
(引用終り)

さて
1）「n 個の点の補空間」というのは、下世話に言えば、ｎ個のピンホールが開いている多様体ってことね
2）「2 - 2g - n < 0 」は、作間誠氏>>393 オイラー標数がχ(Σg,n) = 2 - 2g - n < 0 ってことね
3) オイラー標数がχが負なら、多様体に双曲構造を入れられるってこと。この場合が、”遠アーベル幾何学”？

（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Anabelian_geometry
Anabelian geometry

More recently, Mochizuki introduced and developed a so called mono-anabelian geometry which restores, for a certain class of hyperbolic curves over number fields, the curve from its algebraic fundamental group. Key results of mono-anabelian geometry were published in Mochizuki's "Topics in Absolute Anabelian Geometry."

See also
・Fiber functor
・Neukirch?Uchida theorem
・Belyi's theorem

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/423

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