Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51

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345: １３２人目の素数さん [] 2021/02/11(木) 11:16:04 ID:xRkvTpwx

>>340
「一点抜き楕円曲線」の意味
下記の中村博昭氏2018 ”2. 伊原ベータ関数とその楕円類似 2.3. 楕円曲線版”の解説が詳しいね

（参考）
https://mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp18_files/houkokusyu/09-Nakamura.pdf
グロタンディーク・タイヒミュラー理論の話題から
中村博昭（大阪大学理学研究科）
第 63 回代数学シンポジウム（於 東京工業大学，2018 年 9 月）報告集所収

1.2. 道草 (復元の話）.
このときの主な内容は Grothendieck の
遠アーベル幾何の基本予想「数論的基本群の純群論的構造から双曲型代数曲線を復元す
る」を，種数 0 の場合と，楕円曲線ひく 1 点の場合に解決したことの報告であった．円分
指標の有用性を理解するのに好適な題材であるので，ここで簡単に種数 0 の 4 点抜きの射
影直線の場合に素描しよう．問題は，Uλ := P1 ? {0, 1, λ, ∞} (λ ∈ Q, λ ?= 0, 1) とすると
き，GQ への全射つき数論的基本群 pλ : π1(Uλ) → GQ から Uλ の Q-同型類 ⇔ 複比集合
を復元すること，つまり，ι : π1(Uλ) ?= π1(Uλ′) なる群
同型が pλ = pλ′ ? ι となるように与えられた場合に，J(λ) = J(λ′) を導けるかという問題である．ポイントは，P1 ひく 4 点の数論的基本群のなかに 4 つの穴の周りの局所基本群
（?= GQ ?Z?(1)）として内在している４つの部分群共役類の和集合を，無数の幾何的な開部
分群（有限次被覆曲線の数論的基本群）たちのアーベル化におけるガロア表現の重みフィ
ルター付け（Riemann-Weil 作用と円分作用の差）を利用することで，他の部分群から差
別化する．これができると，アーベル被覆における抜いた点の上の剰余体の系列が個々の
穴の識別つきで復元でき，Kummer 理論の簡単な議論で，J(λ) の各元が基礎体の中で乗
法的に生成する巡回部分群の三本セットが復元され，続いて穴の座標そのものを（数とし
て）復元できることが分かる ([25])．

Legoとの関係 (cf. [26] §3)：スキーム論的には，X = P1?{0, 1,∞}上の有理点 λ ∈ X(Q)
を選ぶことは，構造射 X → Spec Q の切断 λ : Spec Q → X を取ることに相当するから，
数論的基本群の分裂切断 sλ : GQ → πQ(X) を与える（これは，Belyi が与えた s?→01 のよう
な X の無限遠に由来するタイプの分裂とは群論的に区別できることがやはり上の議論か
ら従う）．

遠アーベル幾何の基本予想の中で，現時点で未解決とされる
Section 予想 は，この対応が，右辺を Belyi 型以外の切断準同形たちに制限した場合に全
単射を与えることを主張している．Section 予想は，一般の双曲型曲線や Q 以外の数論的
体への拡張も研究されている (cf. 星 [14]). Esnault-Hai [8] は，X = P1 ? {0, 1,∞} の場
合が肯定的に解決するだけでも，一般の場合に条件付きで帰結があること示している．最
近の進展としては J. Stix の仕事 [43] が目覚ましい．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/345

346: １３２人目の素数さん [] 2021/02/11(木) 11:17:06 ID:xRkvTpwx

>>345
つづき

2. 伊原ベータ関数とその楕円類似
2.3. 楕円曲線版. 筆者が 2 回目に代数学シンポジウムで話をさせて頂いたのは，2002 年に
室蘭工科大学にて開催された第 47 回代数学シンポジウムのときであり，「楕円曲線に付随
して生じる Magnus 表現と Eisenstein 級数について」というタイトルで発表した．この
ときの報告集も電子公開に至っておらないので閲覧しにくいかもしれないが，同時期に数
理研講究録 1281 (2002), 176?183 に書いた姉妹記事「楕円曲線に附随する外モノドロミー
表現とある種の Eisenstein 測度関数について」との合併英訳拡張版を 2 年前にまとめて
[31] として筆者のホームページにおいてある．楕円曲線ひく１点の基本群は，射影直線ひ
く 3 点の基本群と同様にトポロジカルには階数２の自由群であるが，穴の周りの局所基本
群の入り方に大きな違いがあり，アデリック・ベータ関数の類似の構成は紆余曲折をきわ
めている ([34]). ここでは，現状で最良と思われるヴァージョンが，以下のように得られ
ていることを簡単に報告するにとどめる．基本設定は πQ(M1,2) ? πQ(M1,1) をリフトし
た楕円曲線の Weierstrass ファイバー空間 E \ {O} := {y2 = 4x3 ? g2x ? g3} と，下部パ
ラメータ空間 M := {(g2, g3) | ? := g32 ? 27g23 ?= 0} である．双方の空間 E \ {O}, M は Q
上のアフィン代数多様体として考える．自然な射影 E \ {O} → M において，数論的基本
群の標準的な半直積分解と幾何的基本群の標準的な生成系を設定するのに多少骨折りが
必要である（[30, §5]）が，ともかくゼロ切断に接する無限小切断 w? : M 99K E \ {O} を，
局所座標 t := ?2x/y について単位ベクトルをとること，および，（原点ぬき）退化 Tate
楕円曲線の無限小埋め込み Tate(q) 99K E \ {O} を導入することで舞台設定ができる：

(穴あき)Tate 楕円曲線の数論的基本群を，射影直線ひく 3 点の数論的基本群からファンカ
ンペン構成で復元することで，全射準同形 πQ(E \ O) ? πQ(M) の核にあたる Tate 曲線
の幾何的基本群 π1 の標準的生成系 x1, x2, z を Im( ?w) ∩ Tate(q) を基点とするループとし
て導入し，穴あきトーラスの基本群の関係式 [x1, x2]z = 1 ([x1, x2] := x1x2x?11 x?12) をみた
し，かつそれらへのガロア群の作用が (χ(σ), fσ) ∈ GTd の言葉で記述される形にとれる
([28] に遡る). ここでの π1 は x1, x2 で生成される副有限自由群である.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/346

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