Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51

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341: １３２人目の素数さん [] 2021/02/11(木) 10:54:54 ID:xRkvTpwx

>>340
つづき

この三つの例に出てくる「モノイド」、「ガロア圏」、「グラフ」は、いずれも、「圏」という概念の特別な場合に当たるものと見ることができる。(例えば、グラフの場合、グラフ上のパスを考えることによって圏ができる。)従って、IU 幾何の(すべてではないが)重要な側面の一つは、
「圏の幾何」
で表されるということになる。特に、遠アーベル幾何の場合、この「圏の幾何」に対応するのは、
絶対遠アーベル幾何
(=基礎体の絶対ガロア群を、元々与えられたものとして見做さない設定での遠アーベル幾何)である。
この6年間(= 2000年夏~2006年夏)の、「圏の幾何」や絶対遠アーベル幾何を主テーマとした研究の代表的な例として、次のようなものが挙げられる

双曲的リーマン面の幾何を二通りのアプローチで圏論的に記述する。そのうちの一つは、上半平面による一意化を出発点としたもので、もう一つは、リーマン面上の「長方形」(=等角構造に対応)や「平行四辺形」(=疑等角構造に対応)によるものである。

固有な双曲曲線の数論的基本群から、その開部分スキームの数論的基本群を復元する理論を展開する。この理論を、有限体やp進体上の絶対遠アーベル幾何に応用することによって、様々な未解決予想を解く。

ガロア圏のような「etale系」圏構造と、(ログ・スキームの理論に出てくる)モノイドのような「Frobenius 系」 圏論的構造が、どのように作用しあい、またどのように類別できるかを研究する。

数体に対する Teichmuller 理論2006年の後半から、目指すべき理論の形がようやく固まってきて、その理論を記述するための執筆活動が本格的に始まった。この理論の「形」とは、一言で言うと、巾零通常固有束付きの正標数の双曲曲線に対して展開する p 進 Teichmuller 理論と、「パターン的に」類似的な理論を、一点抜き楕円曲線付きの数体に対して展開するという内容のものである。因みに、ここに出てくる(数体上の) 「一点抜き楕円曲線」の中に、その楕円曲線の上に展開される Hodge-Arakelov 理論が含まれている。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/341

345: １３２人目の素数さん [] 2021/02/11(木) 11:16:04 ID:xRkvTpwx

>>340
「一点抜き楕円曲線」の意味
下記の中村博昭氏2018 ”2. 伊原ベータ関数とその楕円類似 2.3. 楕円曲線版”の解説が詳しいね

（参考）
https://mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp18_files/houkokusyu/09-Nakamura.pdf
グロタンディーク・タイヒミュラー理論の話題から
中村博昭（大阪大学理学研究科）
第 63 回代数学シンポジウム（於 東京工業大学，2018 年 9 月）報告集所収

1.2. 道草 (復元の話）.
このときの主な内容は Grothendieck の
遠アーベル幾何の基本予想「数論的基本群の純群論的構造から双曲型代数曲線を復元す
る」を，種数 0 の場合と，楕円曲線ひく 1 点の場合に解決したことの報告であった．円分
指標の有用性を理解するのに好適な題材であるので，ここで簡単に種数 0 の 4 点抜きの射
影直線の場合に素描しよう．問題は，Uλ := P1 ? {0, 1, λ, ∞} (λ ∈ Q, λ ?= 0, 1) とすると
き，GQ への全射つき数論的基本群 pλ : π1(Uλ) → GQ から Uλ の Q-同型類 ⇔ 複比集合
を復元すること，つまり，ι : π1(Uλ) ?= π1(Uλ′) なる群
同型が pλ = pλ′ ? ι となるように与えられた場合に，J(λ) = J(λ′) を導けるかという問題である．ポイントは，P1 ひく 4 点の数論的基本群のなかに 4 つの穴の周りの局所基本群
（?= GQ ?Z?(1)）として内在している４つの部分群共役類の和集合を，無数の幾何的な開部
分群（有限次被覆曲線の数論的基本群）たちのアーベル化におけるガロア表現の重みフィ
ルター付け（Riemann-Weil 作用と円分作用の差）を利用することで，他の部分群から差
別化する．これができると，アーベル被覆における抜いた点の上の剰余体の系列が個々の
穴の識別つきで復元でき，Kummer 理論の簡単な議論で，J(λ) の各元が基礎体の中で乗
法的に生成する巡回部分群の三本セットが復元され，続いて穴の座標そのものを（数とし
て）復元できることが分かる ([25])．

Legoとの関係 (cf. [26] §3)：スキーム論的には，X = P1?{0, 1,∞}上の有理点 λ ∈ X(Q)
を選ぶことは，構造射 X → Spec Q の切断 λ : Spec Q → X を取ることに相当するから，
数論的基本群の分裂切断 sλ : GQ → πQ(X) を与える（これは，Belyi が与えた s?→01 のよう
な X の無限遠に由来するタイプの分裂とは群論的に区別できることがやはり上の議論か
ら従う）．

遠アーベル幾何の基本予想の中で，現時点で未解決とされる
Section 予想 は，この対応が，右辺を Belyi 型以外の切断準同形たちに制限した場合に全
単射を与えることを主張している．Section 予想は，一般の双曲型曲線や Q 以外の数論的
体への拡張も研究されている (cf. 星 [14]). Esnault-Hai [8] は，X = P1 ? {0, 1,∞} の場
合が肯定的に解決するだけでも，一般の場合に条件付きで帰結があること示している．最
近の進展としては J. Stix の仕事 [43] が目覚ましい．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/345

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