Interｰuniversal geometryとABC予想(応用スレ)51

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332: １３２人目の素数さん [] 2021/02/10(水) 11:54:38 ID:LvKKexdx

>>331
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%82%B9
トーラス

平坦トーラス
平坦トーラス (flat torus) は、円柱面を平坦なまま曲げて、両側の端を合わせ貼り付けることで得られる。「平坦」とは「曲率0」ということで、円柱面のように1方向にしか曲がっていない面は曲率0なので平坦である。平坦な面は可展、つまり、伸縮なしで平面（や他の平坦な面）に変形可能である。3次元空間内で円柱面を曲げるにはどうやっても伸縮が必要で、曲率のあるドーナツ型しか作れない。平坦トーラスを作るには、4次元空間が必要である。

平坦トーラスは長方形から作ることもできる。丸めて左右の辺を張り合わせて円柱面にし、あとは同じようにすればいい。円柱面の端とは元の長方形の上下の辺なので、上と下、右と左を貼り付けたことになる。ここで順序を変えて、まず右と左、次に上と下を貼り付けても平坦トーラスができ、このトーラスは元のトーラスと合同である。3次元空間内で考えれば、順序を変えると縦横が入れ替わり戻せないように思えるかもしれないが、4次元空間内では回転により重ね合わすことができる。つまり、上下・左右どちらを先に貼り付けても結果は同じである。

平坦トーラスを作る作業は4次元空間内であるため図示も想像も難しいが、実際に曲げずに、単に上と下、右と左が繋がっていると考えれば、平面幾何に関する限り同じことである。あるいは、同じ長方形が上下左右に無限に繰り返していると考えてもいい。家庭用ゲーム・ドラゴンクエストシリーズなどのコンピュータRPGに登場する、世界地図の右端と左端だけでなく上端と下端が同じ向き付けで繋がっているような世界は、地球のような球面ではなく平坦トーラスである。

ここまで長方形を例に挙げたが、実は平行四辺形なら平坦トーラスを作るのに必要十分である。たとえば、二重周期を持つ楕円関数は、二つの基本周期が描く平行四辺形から構成される平坦トーラスの上で、自然に定義される関数であると解釈される。

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Inside-out_torus_%28animated%2C_small%29.gif/120px-Inside-out_torus_%28animated%2C_small%29.gif
繋げる順序が違うトーラス間の変形（アニメGIF）。4次元空間では穴あけ・伸縮なしでこの変形が可能である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/332

333: １３２人目の素数さん [] 2021/02/10(水) 11:59:41 ID:LvKKexdx

>>331
＞代数曲線の基本群に関するGrothendieck予想

追加参考

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/50/2/50_2_200/_article/-char/ja/
J-STAGEトップ/数学/50巻(1998)2号/書誌
代数曲線の基本群に関するGrothendieck予想の解決
中村博昭,玉川安騎男,望月新一氏の研究に寄せて
伊原康隆
＜PDF＞
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/50/2/50_2_200/_pdf/-char/ja
編集部より,三氏の秋季賞受賞の対象となった研究の大要を紹介する記事を書いてほしいとの依
頼を受けました.これは私としても大変光栄な事なのですが,今回は幸い本人達による詳しい論説
が既にほぼ完成し同じ号に掲載される予定との事ですので,やや慣例には反しますが重複を避ける
為もあり私の記事は極く短いものにとどめたいと思います.
　今回解決されたGrothendieck予想は,「代数体k上定義された滑らかな双曲型代数曲線Xは
X=XO　kの代数的(エタール)基本　7iｰ1(X)へのkの絶対ガロア群Ga1(k/k)の外作用によっ
て一意的に定まる」というものです。ここにXが双曲型とは,その種数をg,穴の個数をnとす
るとき2gー2+n>0が満されることです.三人の方々は,それぞれ相異なる手法によってこの問
題の解決に向け独自の貢献をされました.しかし共通な点は,Grothendieckが「遠アーベル」と
呼んで超困難視したこの問題が,`実は7Zi(X)の各開部分群のアーベル化に今まで発展してきた
「アーベル的な数学」を組織的に適用することによって解けてしまうことを(それぞれの方法で)実
証した点にある,と思います。中村氏が最初にこれを見抜いて種数0(従ってn:≧3)の場合を証明
し,玉川氏が有限体上の曲線の類体論(アーベル被覆の理論)を組織的に用いて一般のn>0の場
合をあざやかに証明して周囲を驚かせ,最後に望月氏がp進体上でも一般に成立することをp進
Hodge理論を(中村,玉川氏と同様に組織的に)用いて見事に証明しました.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1610452199/333

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